Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции Общая схема исследования и построения графиков функций одной переменной

Направление выпуклости графика функции. Пусть функцияf(x) дифференцируема в любой точке интервала (а,b). Тогда существует касательная к графику функции, проходящая через любую точку М(x,f(x)) этого графика, причем эта касательная не параллельна оси Оу. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. График функции f(x) имеет на интервале (а,b) выпуклость, направленную вверх (вниз), если в пределах этого интервала он расположен не выше (не ниже) любой своей касательной. xx y y 00 y = f(x) a abb

ТЕОРЕМА. Если функции f(x) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f ´´(x) 0 ( f ´´(x) 0) во всех точках интервала, то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вверх (вниз). x y a b f ´´(x) < 0 x y f ´´(x) > 0 a b

Точки перегиба графика функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка М( х 0, f(х 0 )) называется точкой перегиба графика функции у = f(x), если в этой точке график имеет касательную и существует окрестность точки х 0 оси ОХ, в пределах которой слева и справа от х 0 график функции имеет разные направления выпуклости. x y 0 y = f(x) М(х о, f(x o )) x0x0 y0y0

ТЕОРЕМА ( необходимое условие перегиба графика функции, имеющей непрерывную вторую производную). Если М(x 0, f(x 0 )) точка перегиба графика функции у = f(x) и функция имеет в этой точке непрерывную вторую производную, то f ´´(x 0 ) = 0. Доказательство. Предположим, что f ´´(x 0 ) 0. Так как, по условию теоремы, f ´´(x) непрерывна в точке x 0, то найдется такая окрестность этой точки, в которой f ´´(x) сохраняет знак числа f ´´(x 0 ). Следовательно, функция сохраняет направление выпуклости в этой окрестности, что противоречит определению точки перегиба.

Достаточное условие перегиба ТЕОРЕМА. Пусть у = f(x) непрерывна в точке x 0, дважды дифференцируема в окрестности этой точки и график функции имеет касательную в точке М(x 0, f(x 0 )). Если в пределах этой окрестности f ´´(x) имеет разные знаки слева и справа от x 0, то М(x 0, f(x 0 )) – точка перегиба графика функции. Доказательство. Так как f ´´(x) имеет разные знаки слева и справа от x 0, то направление выпуклости слева и справа от точки различно, то есть М(x 0, f(x 0 )) – точка перегиба графика функции. x y f ''(x) > 0 f ''(x) < 0 M2M2 M1M1 x1x1 x2x2

ПРИМЕР. Найдем направления выпуклости и точки перегиба графика функции Вычислим производные первого и второго порядка: Здесь y (x) при х 0 и график функции в точке х = 0 имеет вертикальную касательную. Вторая производная в точке х = 0 не определена, а при переходе через эту точку меняет знак с плюса на минус. Итак, точка х = 0 – точка перегиба. x y 0 y < 0 y > 0

Общая схема построения графика функции. Изучение заданной функции f(x) и построение ее графика целесообразно проводить в следующем порядке: Найти область определения функции. Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической. Найти точки пересечения графика с осями координат и промежутки, на которых f(x) > 0 и f(x) < 0. Найти асимптоты графика. Сделать приблизительный эскиз графика. Вычислить первую производную, найти точки экстремума и промежутки возрастания (убывания) функции. Вычислить вторую производную, найти точки перегиба и промежутки выпуклости вверх или вниз функции. Окончательно вычертить график.

ПРИМЕР. Провести полное исследование функции и построить ее график. 1.Область определения функции D(f) = (–, –1) (– 1, + ). Функция общего вида. 2.Найдем нули функции, решив уравнение f(x) = 0 x = 0. Отметим на числовой прямой промежутки знакопостоянства функции: x Знаки f(x)

3.Найдем асимптоты графика функции, вычислив необходимые пределы. В результате получим: х = – 1 – вертикальная асимптота; у = х – 2 – наклонная асимптота графика функции как при х -, так и при х +. 4.На основе полученной информации построим приблизительный эскиз графика: x y

5.Вычислим первую производную функции Найдем критические точки производной и отметим их на числовой прямой. Расставим знаки производной в полученных интервалах и укажем направления возрастания-убывания функции. Вычислим значение функции в обнаруженной точке максимума: f(-3) = – 6.75 x Знаки f '(x) max

6.Найдем вторую производную функции Отметим на числовой прямой критические точки второй производной. Расставим знаки второй производной в полученных интервалах и укажем направления выпуклости функции. 7.Окончательно построим график: x Знаки f ''(x) Точка перегиба

x y 0 – 6.75 – 3– 1 y = x – 2

Спасибо за внимание!