ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение функции нескольких переменных Геометрическое изображение функции двух переменных Частное и полное приращение функции Предел и непрерывность функции нескольких переменных

§ 1. Определение функции нескольких переменных y x S = xy z x y V = xyz

Определение 1.1 Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенной значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D. или

Способы задания функции двух переменных Табличный (таблица) Аналитический (формула) Графический (график) Словесный (словесное описание функциональной зависимости) 011, , x y S = xy

Определение 1.2 Совокупность пар (x,y) значений x и y, при которых определяется функция z = f(x, y), называется областью определения или областью существования этой функции. Геометрически: если каждую пару значений x и y изобразить точкой М(х, у) в плоскости Оху, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости.

Линия, ограничивающая область определения – граница области Точки области, не лежащие на границе – внутренние точки области Область, состоящая из одних внутренних точек – открытая (незамкнутая) Если к области относятся и точки границы – замкнутая область Определение 1.3 Область называется ограниченной, если существует такое постоянное С, что расстояние любой точки М области от начала координат О меньше С, т. е. |OM| < C.

Пример 1: Определить естественную область определения функции z = 2x – y Аналитически выражение z = 2x – y имеет смысл при любых значениях x и y. Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость Оху. х у О Рис. 1

Пример 2: Определить естественную область определения функции Для того, чтобы z имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т. е. х и у должны удовлетворять неравенству или Все точки М(х, у), координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга. 1 у О х 1 Рис. 2

Пример 3: Определить естественную область определения функции Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно выполняться неравенство или у х О у= -х Это значит, что областью определения функции z является половина плоскости, расположенная над прямой у = – х, не включая самой прямой (рис. 3) Рис. 3

Пример 4: Площадь треугольника S с основанием х и высотой у. х у Областью определения этой функции является область х > 0, у > 0 (т. к. основание треугольника и его высота не могут ни отрицательными, ни нулем). Областью определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью того аналитического выражения, с помощью которого задается функция. Рис. 4

Определение 1.3 Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных x, y, z, …, u, t соответствует значение переменной w, то w называют функцией независимых переменных x, y, z, …, u, t и записывают Область определения функции четырех или большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования. или

§ 2. Геометрическое изображение функции нескольких переменных определенную в области G на плоскости Оху, и систему прямоугольных декартовых координат Охуz (рис. 5). Рассмотрим функцию х у z z=f(x,y) P O х у G Получили в пространстве точку Р с координатами х, у, z = f(x, y). Рис. 5

Определение 2.1 Геометрическое место точек Р, координаты которых удовлетворяют уравнению называется графиком функции двух переменных. Уравнениев пространстве определяет некоторую поверхность. Т. о., графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскость Оху в область определения функции. Рис. 6 Параболоид вращения

§ 3. Частное и полное приращение функции нескольких переменных Рассмотрим функцию Величину называют частным приращением z по х (у = const). Величину называют частным приращением z по y (x = const). Величину называют полным приращением функции z.

§ 4. Предел и непрерывность функции нескольких переменных r M0(x0,y0)M0(x0,y0) x y O Рис. 7 M(x,y)M(x,y) Определение 4.1 Окрестностью радиуса r точки M 0 (x 0, y 0 ) называется совокупность всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенствут. е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке M 0 (x 0, y 0 ).

Замечание: Если говорят, что функция f(x, y) обладает каким- либо свойством «вблизи точки (х 0, у 0 )» или «в окрестности точки (х 0, у 0 )», то подразумевают, что найдется такой круг с центром (х 0, у 0 ), во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством. Определение 4.2 Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки M(x, y) к точке M 0 (x 0, y 0 ), если для каждого ε > 0 найдется такое число r > 0, что для всех точек M(x, y), для которых выполняется неравенство Имеет место неравенство

Определение 4.3 Пусть точка M 0 (x 0, y 0 ) принадлежит области определения функции f(x, y). Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке M 0 (x 0, y 0 ), если имеет место равенство причем точка M(x, y) стремится к точке M 0 (x 0, y 0 ) произвольным образом, оставаясь в области определения функции Определение 4.4 Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в области.

Пример 6: Вычислить предел Решение: В точке (0; 2) функция определена, т. к. можно вычислить значение функции в этой точке. Поэтому точка (0; 2) является точкой, принадлежащей области определения функции. Тогда для вычисления предела воспользуемся равенством Получим: Ответ:

Пример 7: Вычислить предел Решение: Точка (0; 3) не принадлежит области определения функции, т. к. при х = 0, имеет место неопределенность 0/0. Поэтому умножим и разделим числитель и знаменатель дроби на величину у и произведем замену u = xy. Получим: Ответ:

Определение 4.5 Если в некоторой точке N 0 (x 0, y 0 ) не выполняется условие то точка N 0 (x 0, y 0 ) называется точкой разрыва функции z = f(x, y). Условие непрерывности может не выполняться в следующих случаях: 1. z = f(x, y) определена во всех точках некоторой окрестности точки N 0 (x 0, y 0 ), за исключением самой точки N 0 (x 0, y 0 ); 2. z = f(x, y) определена во всех точках окрестности N 0 (x 0, y 0 ), но не существует предела 3. z = f(x, y) определена во всех точках окрестности точки N 0 (x 0, y 0 ) и существует предел но

Пример 6: Функциянепрерывна при любых значениях х и у, т. е. в любой точке плоскости Оху.

Свойства функции нескольких переменных, непрерывной в замкнутой и ограниченной области Свойство 1. Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения m Свойство 2. Если функция f(x, y, …) непрерывна в замкнутой и ограниченной области D и если М и m – наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, …) в области, то для любого числа µ, удовлетворяющего условию m < µ < М, найдется в области такая точка N*(x 0 *, y 0 *, …), что будет выполняться равенство f(x 0 *, y 0 *, …) = µ.

Следствие свойства 2. Если функция f(x, y, …) непрерывна в замкнутой и ограниченной области и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x, y, …) обращается в нуль.