Элементы теории вероятностей По материалам учебника Гнеденко Б.В. «Курс теории вероятностей», 7-е издание, 2001

На чем основана теория информации?

Все эти операции над множествами описываются тремя операциями: Операцией объединения Операцией пересечения Операцией отрицания.

Аксиоматическое построение теории вероятности предложено Андреем Николаевичем Колмогоровым (25 апреля 1903 – 20 октября 1987)

Аксиоматическое построение теории вероятности предложено Андреем Николаевичем Колмогоровым Предположим, есть некоторое полное множество всех возможных элементарных событий - E. Это множество состоит из ряда несовместимых событий: A 1, A 2, A 3, …, A n, …

Аксиома 1. Каждому случайному событию A поставлено в соответствие неотрицательное число P(A), называемое его вероятностью. Аксиома 2. P(E) = 1. Аксиома 3. (аксиома сложения). Если события A 1, A 2, A 3, …, A n попарно несовместимы, то P(A 1 +A 2 +A 3 +…+A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) + …+ P(A n ). Аксиоматическое построение теории вероятности предложено Андреем Николаевичем Колмогоровым:

Элементарные следствия аксиом: 1. Вероятность невозможного события равна нулю. Из очевидного равенства и аксиомы 3 следует, что

Элементарные следствия аксиом: 2. Для любого события А

Элементарные следствия аксиом: 3. Каково бы ни было случайное событие А,

Элементарные следствия аксиом: 4. Если событие А влечет за собой событие В, то

Элементарные следствия аксиом: 5. Пусть А и В – это два произвольных события. Поскольку в суммах =+ и =+ слагаемые являются несовместимыми событиями, то по аксиоме 3 имеем: Отсюда следует теорема сложения для произвольных событий А и В:

Условная вероятность и простейшие основные формулы Еслито справедлива теорема умножения: вероятность произведения двух случайных событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло:

Независимость случайных событий Говорят, что событие А независимо от события В, если имеет место равенство: то есть, если наступление события В не изменяет вероятности события А. Из предыдущей теоремы умножения: следует, что

Для независимых событий теорема умножения принимает особенно простой вид, а именно, если события А и В независимы, то

Формула полной вероятности Предположим, что событие В может осуществиться с одним и только с одним и n несовместимых событий A 1, A 2, A 3, …, A n. Иными словами положим, что События ВА i и ВА j с разными индексами i и j несовместимы. По теореме сложения вероятностей имеем: Использовав теорему умножения, находим, что

Пример. Имеется 5 урн: 2 урны состава А 1 – 2 белых и 1 черный шар; 1 урна состава А 2 – 10 черных шаров; 2 урны состава А 3 – 3 белых и 1 черный шар. Наудачу выбирается урна и из неё наудачу вынимается шар. Чему равна вероятность, что вынутый шар белый (событие В)? Решение: По формуле полной вероятности находим, что

Формула Байеса Пусть по-прежнемуНайти По теореме умножения имеем: Используя формулу полной вероятности, находим, что

Пример. Имеется 5 урн следующего состава: 2 урны состава А 1 – 2 белых и 3 черных шара; 2 урна состава А 2 – 1 белый и 4 черных шара; 1 урны состава А 3 – 4 белых и 1 черный шар. Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым (событие В). Чему равна апостериорная вероятность того, что шар вынут из урны состава А 3 ? Решение: По формуле Байеса имеем