Случайный опыт (случайный эксперимент) – условия и действия, при которых может осуществиться случайное событие. В результате случайного опыта наступает только одно элементарное событие. элементарное событие. Элементарное событие нельзя разделить на более простые события Выпало чётное число очков Выпало четыре очка

Однократное бросание кости: Число элементарных событий – 6 Двукратное бросание кости: Число элементарных событий – 6 6 = 36

1; 11; 21; 31; 41; 51; 6 2; 12; 22; 32; 42; 52; 6 3; 13; 23; 33; 43; 53; 6 4; 14; 24; 34; 44; 54; 6 5; 15; 25; 35; 45; 55; 6 6; 16; 26; 36; 46; 56; 6 Элементарное событие Равновозможные события – шансы которых одинаковы

Для равновозможных элементарных событий Число этих событий - N Вероятность каждого – 1 N Вероятность каждого – 1 N

Рассмотрим случайный эксперимент, в котором a, b, c, … - элементарные события. Обозначим вероятности этих элементарных событий - P(a), P(b), P(c), …. P – число от 0 до 1 P(a) + P(b) + P(c) + …. = 1 Сумма вероятностей всех элементарных событий = 1

Проведём эксперимент N раз – событие a произошло N(a) раз, b - N(b) раз, c - N(c) раз, …. событие a произошло N(a) раз, b - N(b) раз, c - N(c) раз, …. Тогда N(a) + N(b) + N(c) + … = N N(a) + N(b) + N(c) + … = 1 N N N N N N N(a) + N(b) + N(c) + … = 1 N N N N N N Сумма частот элементарных событий:

Определение. Элементарные события, при которых наступает событие А, называют элементарными событиями, благоприятствующими событию А Пример 1. Андрей (А), Борис (Б) и Владимир (В) встают в очередь. Возможные элементарные события: АБВ, АВБ, БВА, БАВ, ВАБ, ВБА. АБВ, АВБ, БВА, БАВ, ВАБ, ВБА. Событие «В стоит первым» наступает, если случилось одно из двух элементарных событий: ВАБ, ВБА. Событию «В стоит первым» благоприятствуют события ВБА и ВАБ. Событию «Б стоит впереди А» благоприятствуют элементарные события: БАВ, БВА, ВБА

1; 11; 21; 31; 41; 51; 6 2; 12; 22; 32; 42; 52; 6 3; 13; 23; 33; 43; 53; 6 4; 14; 24; 34; 44; 54; 6 5; 15; 25; 35; 45; 55; 6 6; 16; 26; 36; 46; 56; 6 Пример 2. Игральную кость бросают дважды. Таблица элементарных событий этого опыта: 1. Событие «сумма очков при двух бросках равна 11». Найти благоприятствующие элементарные события. 2. Событие «произведение очков при двух бросках равно 12». Найти благоприятствующие элементарные события.

Вероятность случайного события А – Р(А), В – Р(В) и т.д. Вероятности Р(а), Р(b), P(c), Р(d), … - вероятности элементарных событий, благоприятствующих соответствующим случайным событиям. P(А) = Р(a) + P(b) + P(c) + Р(d) +…. 0 P(А) 1 Невозможное событиеДостоверное событие Пример 1. Максим играет с Иваном в шахматы. Вероятность выигрыша для Максима – 0,001, вероятность ничьей равна 0,01. Найти вероятность события А «Максим не проиграл». Решение. Событию А благоприятствуют элементарные события «Максим выиграл» и «партия закончилась вничью». Тогда: Р(А) = 0, ,01 = 0,011. Правило вычисления вероятности события А: Где a, b, c, d, … - элементарные события, благоприятствующие случайному событию А.

Пример 1. Автомобиль подъезжает к перекрёстку. Вероятность элементарного события «автомобиль свернёт вправо» равна 0,5, вероятность элементарного события «автомобиль свернёт влево» равна 0,3, вероятность элементарного события «автомобиль поедет прямо» равна 0,18. Найти. Вероятность события А «автомобиль не поедет обратно». Решение. Событию А благоприятствуют все три перечисленных элементарных события. Тогда: Р(А) = 0,5 + 0,3 + 0,18 = 0,98.

Определение. События, которые имеют одинаковые вероятности, называют равновероятными. Равновозможные элементарные события – равновероятны. Вероятности этих событий в сумме – Вероятность каждого события (если их количество N) равна 1N Если случайному событию А благоприятствуют N(A) элементарных событий, то Р(А) = N(A) N

Правило. Пусть все элементарные события опыта равновозможны. Тогда в этом опыте вероятность произвольного события равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных событий. 1; 11; 21; 31; 41; 51; 6 2; 12; 22; 32; 42; 52; 6 3; 13; 23; 33; 43; 53; 6 4; 14; 24; 34; 44; 54; 6 5; 15; 25; 35; 45; 55; 6 6; 16; 26; 36; 46; 56; 6 Пример. Найти вероятность события А «сумма очков равна 6». Решение. Число благоприятствующих событий N(A) = 10. Общее число событий N = 36. Р(А) = N(A) = 10 = 5 N N 36 18