1 Для самостоятельного решения 1 вариант____ 1. Вероятность рождения мальчика равна 0,49. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 мальчиков. 2.В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. р. при условии возврата 110% от этой суммы. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью 0,8? 2 вариант____1. Вероятность рождения девочки равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 девочек. 2.В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. р. при условии возврата 110% от этой суммы. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью 0,995?

2 Формулы Байеса Пусть события Bi, В2,..., Вn несовместны и образуют полную группу, событие А может наступить при условии появления одного из них. События Bi называют гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из них наступит.

3 Формулы Байеса Пример. В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60 обслуживаются первым операционистом и 40 вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет 0,9 и 0,75 соответственно для первого и второго служащих банка. Найти вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом. Решение. Вероятность того, что клиент попадет к первому операционисту (событие В1), составляет 0,6, ко второму 0,4 (событие В2). вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом (событие А) Иными словами, 64% клиентов, попавших на обслуживание к первому операционисту, будут обслужены им полностью.

4 Формулы Байеса Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечно-сосудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе? А - случайно выбранный из популяции человек имеет заболевание; В1 - человек придерживался специальной диеты; В2 - человек принадлежал к контрольной группе.

5 А - случайно выбранный из популяции человек имеет заболевание; В1 - человек придерживался специальной диеты; В2 - человек принадлежал к контрольной группе. Согласно формуле полной вероятности

6 Схема независимых испытаний Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события А. Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятность противоположного события ненаступления события А также постоянна в каждом испытании и равна q = 1 р. В теории вероятностей представляет особый интерес случай, когда в п испытаниях событие А осуществится к раз и не осуществится (п к) раз. Вероятность этого сложного события, состоящего из n испытаний, определяется формулой Бернулли

7 n независимых испытаний, событие А может появиться с вероятностью р вероятность ненаступления события q = 1 р. в п испытаниях событие А осуществится к раз не осуществится (п к) раз формула Бернулли Пример 1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет 2 раза. Решение. р = q = 0,5. n= 6, к = 2.

8 Схема независимых испытаний n независимых испытаний, событие А может появиться с вероятностью р вероятность ненаступления события q = 1 р. в п испытаниях событие А осуществится к раз не осуществится (п к) раз формула Бернулли Пример 2. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет не менее двух раз.

9 Локальная теорема Лапласа ТЕОРЕМА 7. Пусть вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна, причем О < р < 1. Тогда вероятность Рn(к) того, что событие А появится в n испытаниях ровно к раз, приближенно равна значению функции

10

11 Интегральная теорема Лапласа n независимых испытаний, событие А может появиться с вероятностью р вероятность ненаступления события q = 1 р. в n испытаниях событие А осуществится к раз, причем I < к

12 Интегральная теорема Лапласа n независимых испытаний, событие А может появиться с вероятностью р вероятность ненаступления события q = 1 р. в n испытаниях событие А осуществится к раз, причемI < к

13

14 Пример. В страховой компании 10 тыс. клиентов, застраховавших свою недвижимость. Страховой взнос составляет 2000 р., вероятность несчастного случая р = 0,005, страховая выплата клиенту при несчастном случае составляет 200 тыс. р. Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью Р=0,9. Решение. Тогда с вероятностью Р прибыль компании составит (20-0,2N) млн р. Предварительные вычисления значений аргумента функции Ф(х) при n = , I = N, т = дают a=(N-50)/ 7.05 b= Из табл. находим, что Ф(х) = 0,5 при |х| > 5

15 Пример. В страховой компании 10 тыс. клиентов, застраховавших свою недвижимость. Страховой взнос составляет 2000 р., вероятность несчастного случая р = 0,005, страховая выплата клиенту при несчастном случае составляет 200 тыс. р. Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью Р= 0,9 Решение. с вероятностью 0,9 страховой компании гарантирована прибыль