Стереометрия

УРОК ГЕОМЕТРИИ 11 класс Тема: «Конус. Усеченный конус. Основные понятия». Учитель: Левицкая Н.Ш.

Цели урока. Образовательные: - дать понятия конуса, усеченного конуса, их основных элементов Развивающие: - рассмотреть различные сечения конуса - развитие интеллекта - развитие пространственного воображения - совершенствование вычислительных навыков

1).Повторение материала прошлого урока и проверка домашнего задания. 2).Объяснение нового материала. А) Конус. Основные понятия. Б) Сечения конуса. В) Усеченный конус. Основные понятия. 3). Решение задач. 4). Самостоятельная работа. 5). Самопроверка. 6). Подведение итогов урока. ПЛАН УРОКА

521 Найти диагональ осевого сечения цилиндра, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота – 4 м. Дано: Цилиндр R= 1,5 м H=4 м Найти: АВ Проверка домашнего задания

Решение. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник. Если r = 1,5 м, то диаметр d= 3м Н=4м (по условию) Треугольник АВС – прямоугольный. АС=3м, ВС =4м, значит это египетский треугольник. Следовательно, АВ = 5м. Ответ: АВ=5м. Проверка домашнего задания

524. Осевые сечения двух цилиндров равны. Равны ли высоты этих цилиндров? Ответ: нет. Проверка домашнего задания

523. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20см.Найти а).высоту цилиндра ; б). площадь основания цилиндра. Дано: Цилиндр. Осевое сечение - квадрат. АВ=20см Найти: а).h б).Sосн Проверка домашнего задания

523. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20см.Найти а).высоту цилиндра ; б). площадь основания цилиндра. Дано: Цилиндр. Осевое сечение - квадрат. АВ=20см Найти: а).h б).Sосн. Решение. А). Осевое сечение цилиндра – квадрат, значит d=h Треугольник АВС - прямоугольный, равнобедренный. АВ=20см, значит ВС=20/2=102см h=102см Б). Диаметр АС=ВС=102см, значит r=52см S=πr² S=π(52)²cм²=50π см² Ответ: а).102см б). 50π см² Проверка домашнего задания

КРОССВОРД По горизонтали: 1)Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами. 2)Отрезки, которые образуют цилиндрическую поверхность ( в ед. ч.). 3)Прямая, проходящая через центры оснований. 4)Длина образующей цилиндра. 5)Форма сечения цилиндра, перпендикулярного оси.

По вертикали: 6)Параллельные поверхности цилиндра, имеющие форму круга. 7) Расстояние от центра основания цилиндра до любой точки пересечения этого основания и цилиндрической поверхности. кроссворд

ПРОВЕРЬ СЕБЯ 8 Т Р7 6Е4КРУГ 2ОБРАЗУЮЩАЯ 3ВЫСОтАГД НОИ ОЛУ В5ЬС АОН 1КОНУСИ ИЬК Я

Решение устных задач

Решение устных задач на повторение

2).Ответ: а2

Решение устных задач на повторение 3).Решение: 180º-(60º+60º)=60º Треугольник равносторонний Ответ: 6.

Решение устных задач на повторение 4).Ответ: S=½ab· sin ɑ

Решение устных задач на повторение 5) Решение: S= ½· 0,4 · 0,4 sin30º = ½ · 0,16 · ½ = 0,04 Ответ: 0,04

Решение устных задач на повторение 6)Решение: 180º-(90º +45º)=45º Треугольник равнобедренный Катеты равны S= ½· 3 · 3 = 4,5 Ответ: 4,5

Решение устных задач на повторение 7)Решение: 180º-(60º +60°)=60° Треугольник равносторонний S= ½ · 4· 4·sin60°=8· 3/2= 43 Ответ: 43

Решение устных задач на повторение 8) Решение: S= ½· 10· 10·sin45°= 50·2/2 = 252 Ответ: 252

Объяснение нового материала

ОБЪЯСНЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА Рассмотрим окружность с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку этой окружности соединим отрезком с точкой Р. Поверхность, образованная этими отрезками называется конической поверхностью.

Определение. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с центром О и радиусом r, называется конусом. Объяснение нового материала РА, РВ, РС и т.д.- образующие.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Слово конус образовано от латинского слова conus, которое означает «верхушка шлема».

Ось конуса (прямая ОР) Вершина конуса Р Образующие конуса РА, РВ, РС... Боковая поверхность конуса (коническая поверхность) Основание Окр.(О; r) Радиус r Высота ( отрезок ОР) Основные элементы конуса

КОНУС КАК ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. При этом боковая поверхность получается вращением гипотенузы.

РАЗВЕРТКА КОНУСА

СЕЧЕНИЯ КОНУСА

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 1 Ответ: l=5

Задача 2 Указания к решению: 1).Другой острый угол в прямоугольном треугольнике равен 30°. 2).r = 5 (по свойству катета, лежащего против угла в 30° ) 3).Sосн.= πr² Ответ: Sосн.=25π

Задача 3

Решение задачи 3

Дано: конус АРС – осевое сечение АРС – правильный треуг. АР=2r МРN – сечение ɑ =45° Найти: Scеч. ЗАДАЧА 551 Осевое сечение конуса – правильный треугольник со стороной 2r. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие конуса, угол между которыми равен 45°.

1). А Р С – равносторонний треуг.(по условию), значит образующая конуса l=2r 2).Площадь сечения МNР Scеч.= ½·2r ·2r ·sin45° = 2r² ·2/2 = r² · 2 Ответ: Sсеч. = r² · 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 551

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Радиус основания конуса равен 2м, а осевое сечение – прямоугольный треугольник. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 30°. ЗАДАЧА

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПОДСКАЗКА 1 Решение. 1).АРВ – осевое сечение конуса и прямоугольный треуг. Значит АРВ – прямоугольный, равнобедренный треуг. АВ =…………; РА = РВ =………. Образующая конуса равна …….. 2). Sсеч. = …………………………………………. Дано: Конус R=2м АРВ – осевое сечение АРВ – прямоугольный треуг. АРС – сечение ےАРС=30° Найти: Sсеч.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПОДСКАЗКА 2 АВ = 2r = 4м РА = РВ = 4/2 = 22 Образующая конуса равна 22м. 2). Sсеч. = ………………………………………….. Решение. 1).АРВ – осевое сечение конуса и прямоугольный треуг. Значит АРВ – прямоугольный, равнобедренный треуг.

2).Сечение АРС – равнобедренный треугольник. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Sсеч. = ………………………………………………. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПОДСКАЗКА 3

2). Sсеч. = ½АР · РС · sin30° = ………………………. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПОДСКАЗКА 4

ПРОВЕРЬ СЕБЯ! РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1).АРВ – осевое сечение конуса и прямоугольный треуг. Значит АРВ – прямоугольный, равнобедренный треуг. АВ = 2r = 4м РА = РВ = 4/2 = 22 Образующая конуса равна 22м. 2). Sсеч. = ½АР · РС · sin30° = ½ · 22 · 22 · ½ = 2 · 2 = 2 Sсеч. = 2 м². Ответ: 2 м².

ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА 1).На этом уроке мы познакомились с геометрическим телом, которое называется конус. 2).Узнали основные элементы конуса и сечения конуса. 3).Научились решать простейшие задачи по теме «Конус». 4).Выполнили самостоятельную работу.