1. Загадочный ответ прохожего (3 балла) Ребята спросили прохожего: Скажите, пожалуйста, сколько сейчас времени? Вы узнаете, который час, если промежуток времени до полудня увеличите на 2 5 промежутка времени, прошедшего после полуночи. Разгадайте и вы загадку прохожего.

Решение. Если искомое время х, то, очевидно, х часов прошло после полуночи, а до полудня осталось (12 – х) часов. По условию 12 – х + х : 5 · 2 = х, следовательно, х = часа = 7 ч 30 мин. Итак, времени 7 ч 30 мин. Ответ. 7 ч 30 мин.

2. Школьный завтрак (2 балла) К школьному завтраку надо 13 арбузов одного размера разрезать на 42 одинаковые порции. Как это сделать, не разрезая ни одного арбуза больше чем на 7 частей?

Ответ содержится в равенстве 13/42 = 1/7 + 1/6. Оно указывает на то, что каждый из шести арбузов надо разделить на 7 частей, а каждый из остальных семи арбузов разделить на 6 частей, тогда получится 42 части одного объема и 42 части другого. Каждый ученик получит по одной части каждого из двух объемов.

3. Разделите поровну (2 балла) Разделите 5 одинаковых яблок между восемью мальчиками поровну. Сделайте это с наименьшим числом разрезов.

Решение. Имеем 5/8 = 4/8 + 1/8 = 1/2 + 1/8; отсюда видно, что четыре яблока надо разделить пополам и только одно яблоко разделить на 8 частей. Ответ. 4 яблока надо разделить пополам и 1 яблоко разделить на 8 частей.

4. Бочки с медом (3 балла) В подвале стоят 7 полных бочек меду, 7 бочек, наполненных медом наполовину, и 7 пустых бочек. Как распределить эти бочки между тремя грузовиками, чтобы на каждом грузовике было 7 бочек и на всех грузовиках был одинаковый груз?

Решение. Пусть в полной бочке х кг меда. Тогда во всех бочках содержится (7х + 7 × 0,5х) кг, т.е. 10,5х кг меда. Таким образом, на каждом грузовике должно быть 3,5х кг меда. Начнем с распределения полных бочек. На любом грузовике не может быть более трех полных бочек и менее одной полной бочки (в первом случае масса груза на машине будет более 3,5х кг, во втором – все полупустые бочки придется погрузить на один грузовик). Если на одном грузовике – три полных, то оставшиеся четыре полные бочки на два других грузовика можно распределить двумя способами (4 = = 2 + 2). Количество пустых и полупустых бочек в каждом из этих двух случаев определяется однозначно. Таким образом, существует два и только два способа распределения всех бочек заданным способом между тремя грузовиками:

5. Тарелки с полки (2 балла) На полке стоят тарелки. Сначала взяли третью часть всех тарелок без двух, а потом 1/2 оставшихся тарелок. После этого на полке осталось 9 тарелок. Сколько тарелок осталось на полке?

Решение. По условию 9 – это половина тарелок, оставшихся во второй раз. Значит, во второй раз осталось 18 тарелок, что согласно условию, на 2 тарелки больше, чем 2/3 всех тарелок. Следовательно, 2/3 части тарелок равно 16, всего на полке было 24 тарелки. Ответ. На полке было 24 тарелки.

6. Яблоки из пакета (1 балл) В пакете лежали яблоки. Сначала из него взяли половину всех яблок без пяти, а затем 1/3 оставшихся яблок. После этого в пакете осталось 10 яблок. Сколько яблок было в

Решение. Начнем рассуждение "с конца". По условию задачи 10 яблок составляют 2/3 числа яблок, оставшихся второй раз. Следовательно, во второй раз осталось 15 яблок, что, согласно условию, больше половины яблок на 5. Значит, половина яблок – 10, а в пакете было 20 яблок. Ответ. В пакете было 20 яблок.

7. Большая стирка (1 балл) После семи стирок измерения куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились вдвое. На сколько еще стирок хватит оставшегося куска мыла?

Решение. После семи стирок объем оставшегося куска мыла составил 1/8 часть первоначального. Следовательно, израсходовано мыла 1 - 1/8 = 7/8 куска. За каждую стирку расходовалась 7/8 : 7 = 1/8 часть куска, т.е. столько, сколько осталось. Значит, осталось мыла на одну стирку. Ответ. На одну стирку.