«Математик года 2012» Работа Дегтярёвой Ирины 10 класс МОУ « СОШ с.Клинцовка» «Велика наука! …И не заняться ей- нельзя…»

«Некоторые применения математики в экономике»

Цель проекта: Знакомство с математическими моделями задач экономического содержания.

Актуальность: Постоянное решение встающих перед нами задач.

Математические модели- необходимый аппарат измерения экономических объектов.

Задачи экономического содержания: Задачи на вычисления процессов, сплавов и смесей; Задачи на вычисления производительности, работы Задачи на вычисления наибольшего и наименьшего значений.

1. Задачи на смеси и сплавы. 1.Задачи на понижение концентрации. 2.Задачи на повышение концентрации. 3.Задачи на «высушивание» 4.Задачи на смешивание растворов разных концентраций. 5.Задачи на переливание.

10%-ный раствора спирта. Из сосуда отлили 1/3 содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался на 5/6 первоначальной массы. Какое процентное содержание спирта оказалось окончательно в сосуде?

Решение: Пусть в сосуде 100 г раствора, тогда в сосуде 10 г спирта и 90 г воды. После того, как отлили 1/ 3 содержимого, масса стала 200/3 г, причём спирта 20/3 г. В раствор долили воды и его масса 100* 5/6= 250/3 г. Процентное содержание ( 20/3 : 250/3) * 100%=8%. Ответ: 8%.

2.Задачи на проценты. Население города за два года увеличилось с до человек. Найти средний ежегодный процент роста населения этого города.

Решение: Пусть х средний ежегодный процент роста населения. Тогда 20000х *0,01=200х – человек прибавившегося населения за 1-ый год.; ( х)ч - стало через год.; 0,01( х)- человек населения, прибавившегося за 2-ой год. Зная, что население города составило человек, составим математическую модель: х+0,01х( х)=22050; х²+200х-1025=0. По теореме Виета, легко увидеть, что корни этого уравнения х 1 = 5 и х 2 = По смыслу задачи х- положительное число, поэтому ответ 5. Ответ:5.

3.Задачи на работу, производительность. Опытный рабочий изготавливает 40 деталей на 2 часа быстрее, чем молодой рабочий изготавливает 30 деталей. За сколько часов оба этих рабочих изготовят вместе 120 деталей, если за 1 час опытный рабочий изготавливает на 5 деталей больше молодого рабочего?

Решение: Пусть х деталей в час изготавливает молодой рабочий. (х +5) деталей изготавливает опытный рабочий. 30/х –время изготовления 30 деталей молодым рабочим, тогда 40/х +5 – время выполнения 40 деталей опытным рабочим. Зная, что 2 часа разность выполнения работы, составим математическую модель: 30/х – 40/х+5=2; 30(х+5)-40х=2х(х+5) 30х х=2х²+10х х²+10х-75=0 По теореме Виета легко увидеть, что корнями этого уравнения являются числа 5 и -15, но – 15 не удовлетворяет условию задачи, так как кол-во деталей не может быть отрицательным.5 деталей изготавливает молодой рабочий. 10 деталей изготавливает опытный рабочий. 120/(5+10)= 120/15= 8 (ч)- Время изготовления 120 деталей. Ответ: 8 часов.

4. Задачи на нахождение наименьшего или наибольшего значений. Фирма выпускает прогулочные и спортивные велосипеды. Ежемесячно сборочный цех способен собрать 600 прогулочных и 300 спортивных велосипедов. Готовая продукция проверяется на двух стендах: А и В. Каждый прогулочный велосипед проверяется 0,3 ч на стенде А и 0,1 ч на стенде В, а каждый спортивный велосипед проверяется 0,4 ч на стенде А и 0,3 на стенде В. По технологическим причинам стенд А не может работать более 240 ч в месяц, а стенд В- не более 120 ч в месяц. Каждый прогулочный велосипед приносит фирме доход в рублей, а каждый спортивный рублей. Сколько прогулочных велосипедов и сколько спортивных велосипедов должна ежемесячно выпускать фирма, чтобы её прибыль была наибольшей?

Решение: Составим математическую модель этой задачи. Обозначим через х ( десятков) количество прогулочных велосипедов, выпускаемых ежемесячно фирмой, а через y(десятков) количество спортивных велосипедов. По условию, 0х60, 0y30. Это кол-во велосипедов обрабатывается 3х + 4y часов на стенде А и х +3 часов на стенде В. Далее, по условию 3х+4у240, а х Прибыль фирмы составляет S=500000х у. Таким образом, мы пришли к следующей математической задаче: найти числа х и у, удовлетворяющие системе неравенств: 3х +4у240, х+3у120, х0, у0, х60, у30. И такие, чтобы прибыль S была наибольшей.

Решением данной задачи является выпуск 480 прогулочных и 240 спортивных велосипедов. При этом наибольшая прибыль фирмы составляет S= 45,6 * 10 7 руб. Полученный результат показывает возможности фирмы при работе в «идеальных условиях»,так как при составлении модели мы пренебрегли очень многими факторами-не учли возможный брак велосипедов, поломку станков и стендов, возможную нехватку электроэнергии.