Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ кафедра «Прикладная математика» Н.А. Кудряшов, Д.И. Синельщиков Трехмерные нелинейные волны в жидкости с пузырьками газа Международная молодёжная конференция - школа «Современные проблемы прикладной математики и информатики» Дубна, августа 2012 г.

2 Обзор исследований L. V. Wijngaarden (1968) – КдВ для описания длинных волн малой, но конечной амплитуды в жидкости содержащей пузырьки газа L. V. Wijngaarden (1972), В.Е. Накоряков и др. (1972) – КдВБ для описания длинных волн ( учет вязкого трения на границе пузырек жидкость) Кудяршов Н.А., Синельщиков Д.И. (2010) – уравнения четвертого порядка для описания длинных волн (учет межфазного теплообмена) Кудряшов Н.А., Тетерев Н.А. (2009), Шагапов В.Ш. и др. (2002) – численное изучение волновых процессов в не одномерном случае Волновые процессы в жидкости с пузырьками газа в двух и трехмерном случаях аналитически не изучались

3 Постановка задач Цель работы: исследование нелинейных волновых процессов жидкости с пузырьками газа в трехмерном случае Задачи: Вывести замкнутую систему уравнений относительно возмущений давления, плотности и скорости газожидкостной смеси Получить нелинейные эволюционные уравнения для описания волн в жидкости с пузырьками газа Построить точные решения полученных нелинейных эволюционных уравнений, исследовать устойчивость уединенных волн

4 Основные приближения Рассматривается монодисперсная смесь: газовая фаза содержится в виде сферических пузырьков одинакового радиуса, причем газосодержание мало Процессы образования, разрушения и слипания пузырьков не учитываются Количество пузырьков N на единицу массы смеси постоянно Рассматривается односкоростное приближение Расстояние между пузырьками много больше равновесного значения радиуса пузырька (можно пренебречь взаимодействием между отдельными пузырьками) Рассматриваем длинноволновые возмущения: характерные длины волн много больше расстояния между пузырьками

5 Система уравнений `

6 Характерные масштабы Характерные длины - среднее расстояние между пузырьками, - характерная длина волн Рассматриваются волны малой амплитуды Линеаризация системы уравнений - характерная скорость распространения возмущений, - характерное время распространения возмущений

7 Метод многих масштабов (1) Система уравнений в безразмерных переменных Дисперсионное соотношение

8 Метод многих масштабов (2) Переходим к новым переменным В качестве малого параметра выбираем Решение системы уравнений ищем в виде

9 Нелинейное эволюционное уравнение Нелинейное эволюционное уравнение для плотности смеси При уравнение Кадомцева-Петвиашвили При двумерное уравнение КдВБ Канонический вид уравнения

10 Тест на свойство Пенлеве Рассмотрим случай идеальной жидкости ( ) Решение ищем в виде Коэффициенты ряда имеют вид - произвольные, может быть взят произвольным при условии Уравнение не обладает свойством Пенлеве

11 Точные решения (1) Случай идеальной жидкости Решения ищем с помощью метода Хироты Уединенная волна Взаимодействие двух уединенных волн

12 Взаимодействие двух уединенных волн

13 Точные решения (2) Случай идеальной жидкости ( ) Точные решения в переменных бегущей волны При уравнение сводится к уравнению При решения выражаются через эллиптическую функцию Вейерштрасса

14 Точные решения (3) Случай вязкой жидкости Точные решения в переменных бегущей волны Решения при (Kudryashov N.A., 2010)

15 Точное решение в виде кинка

16 Устойчивость уединенных волн Рассматривается устойчивость одномерной уединенной волны (случай идеальной жидкости) При действительных решения уравнения для ограниченны уединенные волны устойчивы по отношению к поперечным возмущениям

17 Случай цилиндрической симметрии Система уравнений в безразмерных переменных Нелинейное эволюционное уравнение

18 Заключение Получено (3+1)-мерное нелинейное эволюционное уравнение для описания волновых процессов в жидкости с пузырьками газа Показано, что в общем случае эволюционное уравнение не относится к классу интегрируемых уравнений Показано, что в случае идеальной жидкости две уединенные волны, взаимодействуют упруго Получен ряд точных решений для нелинейного эволюционного уравнения Показано, что одномерные уединенные волны устойчивы по отношению к поперечным возмущениям

19 Спасибо за внимание!