З Д Р А В С Т В У Й Т Е!

24.5. Гармонический осциллятор (Маятники: пружинный, физический и математический) Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники. В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси.

Математическим маятником - называется идеализированная система, состоящая из невесомой, нерастяжимой нити, на которую подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (небольшой тяжелый шарик на длинной тонкой нити). Рассмотрим условия, при которых колебания маятника являются гармоническими. Отклонения маятника от положения равновесия будем характеризовать углом, образованным нитью с вертикалью. При отклонении маятника от вертикали, возникает вращательный момент, модуль которого M = mglsin. Вектор М направлен от нас. Он имеет такое направле-ние, что стремится вернуть маятник в положение равновесия и в этом отношении он аналогичен

Рис. 7. квазиупругой силе. Поэтому M и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки. M = -mg l sin Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения М =J, где момент инерции маятника J = ml 2, а ε = d 2 /dt 2 тогда преобразуем и получаем (24.5.1) d 2 /dt 2 + g/(l sin ) = 0 (24.5.2) Рассмотрим колебания с малой амплитудой т.е. sin и введем обозначение g/l = 0 2. Тогда ( ) преобразуем и получаем (24.5.3)

А это есть уравнение динамики гармонических незатухающих колебаний. Решение уравнения ( ) имеет вид = m cos ( 0 t + 0 ) (24.5.4) Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону, откуда T = 2 / 0 = (24.5.5) Т.е. период Т - зависит только от длины маятника и ускорения свободного падения. Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, то такой маятник называется физическим. При отклонении положения равновесия на угол φ также возникает вращающий момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия: М = -mg l sin φ, где l - расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника С.

Обозначим через J -момент инерции маятника относительно точки подвеса 0, тогда J = d 2 φ /dt 2 = - mglsinφ ( ) В случае малых колебаний (sin = ) уравнение (24.5.6) переходит в известное нам уравнение. d 2 φ /dt φ = 0 (24.5.7) Его решение нам уже известно φ = φ m cos( 0 t + ), где 0 2 = mgl /J Из (24.5.7) следует, что физический маятник Рис. 8. при любых отклонениях также совершает гармонические колебания, частота которых, кроме того, зависит от массы и момента инерции маятника. Аналогично ( ) получим ( )

Величину момента инерции J бывает трудно вычислить. Сопоставляя (24.5.5) и (24.5.8) получим, что математический маятник с длиной l пр =J/ml (24.5.9) будет иметь такой же период колебаний, как и физический. l пр - приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебания которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющая точку подвеса с центром инерции и, лежащая на расстоянии l пр от точки подвеса, называется центром качения физического маятника (точка О). Точки О и О всегда будут лежать по обе стороны от точки С. Точки подвеса и центр качания обладают свойством взаимности, т.е. период колебания Т не изменяется если маятник подвесить за точку О. На этом свойстве основано определение ускорения силы тяжести g с помощью так называемого оборотного маятника. Это такой маятник, у которого имеются две призмы (точки подвеса) и два груза, которые могут перемещаться вдоль оси маятника. Перемещением грузов

добиваются того, что расстояние между призмами будет соответствовать l пр. Тогда, а l пр - точно известно (измерено). 24. Пружинный маятник - это груз массой m, подвешенный на абсолютно-упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = - kх, где k - жесткость пружины. Уравнение движения маятника,или + (k/m)х= 0. ( ) Из выражений (24.5.3а) или (24.5.3б) и (24.5.4) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = Аcos( t+ ) c циклической частотой и периодом: Эти формулы справедливы для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника равна U=kх 2 /2.

Рассматривая физический и математический маятники, мы все время подчеркивали, что они совершают гармонические колебания при малых отклонениях, т.е. когда длина дуги х = l очень мало отличается от длины хорды lsin, мы можем так поступать для углов меньше 15, для которых значения и sin различаются меньше чем на 24% Свободные гармонические колебания в колебательном контуре Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические вели- чины (заряды, токи, напряжения) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электри- ческого и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР – ЦЕПЬ, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ВКЛЮЧЕННЫХ ПОСЛЕ- ДОВАТЕЛЬНО КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТЬЮ L, КОНДЕН- САТОРА ЕМКОСТЬЮ С И РЕЗИСТОРА СОПРТИВЛЕНИЕМ R

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (R 0). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряд Q. Тогда в начальный момент времени t = 0 (рис.9) между обкладками конденсатора возникает электрическое поле, энергия которого Q 2 /2C. Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечёт возрастающий со временем ток I/. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки (она равна LQ 2 /2) – возрастать. Т.к. R 0, то согласно закону сохранения энергии, полная энергия W = Q 2 /2C + LQ 2 /2 = const, что обусловлено отсут-ствием потерь на нагревание. Поэтому в момент времени t = Т/4, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а, следовате-льно, и ток) достигает наибольшего значения. Начиная с этого мо-мента ток в контуре будет убывать и как следствие, начнет осла-бевать магнитное поле катушки, и в ней индуцируется ток, который

течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, Возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в кон-це концов обратиться в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума. Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении и система к моменту времени t = Т придет в первоначальное состояние. После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Рис. 9.

Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т.е. периодически изменялись (колебались) бы заряд Q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, причём колебания сопровождаются превращением энер-гий электрического и магнитного полей. Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоста- вить с механическими колебаниями маятника,сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энер- гий маятника. В данном случае энергия электрического поля кон- денсатора (Q 2 /2C) аналогична потенциальной энергии упругой де- формации (kx 2 /2), энергия магнитного поля (LI 2 /2) катушки – кине- тической энергии (m 2 /2) маятника, сила тока в контуре – скорости движения маятника. Индуктивность L играет роль массы, а сопротивление R в контуре играет роль, аналогичную силе трения, действующей на механический маятник.

Согласно закону Ома, для RLC контура IR + U c = Е s, где IR – напряжение на резисторе, U c = Q/C – напряжение на конденсаторе, Е s = -LdI/dt - ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней тока (Е s – единственная ЭДС контура). Следовательно, ( ) Поделив ( ) на L и подставив получим Дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в контуре (24.6.2) В данном колебательном контуре внешние ЭДС отсутствуют, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания. Если пренебречь сопротивлением R 0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из (24.6.2) получим дифференциальное

уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре (24.6.2а) Из выражений (24.3.3) и (24.3.4) следует, что заряд Q совершает гармонические колебания по закону Q = Q m cos( 0 t + ) (24.6.3) где Q m – амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой 0, называемой собственной частотой контура, т.е. (24.6.4) И периодом (24.6.5) Формула (24.6.5) называется формулой Томсона. Сила тока в колебательном контуре, (24.6.6) где I m = 0 Q m – амплитуда силы тока.

Напряжение на конденсаторе, (24.6.7) где U m = Q m /C – амплитуда напряжения. Из выражений (24.6.3), (24.6.6) и (24.6.7) вытекает, что колебание тока I опережает по фазе колебания заряда Q и напряжения U на /2, т.е. когда ток достигает максимального значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот.

Лекция окончена. Сегодня: суббота, 23 ноября 2013 г. До свидания! УРА! УРА! УРА!