Задача. В изображенной на рисунке схеме ЭДС батареи = 10 В, емкость конденсатора С = 2 мкФ, индуктивность катушки L неизвестна. При разомкнутом ключе K конденсатор заряжен до напряжения U 0 = 0,5 (на правой пластине положительный заряд, на левой отрицательный). Пренебрегая омическим сопротивлением цепи, определить максимальный заряд на конденсаторе после замыкания ключа. L С K Решение. 1. В момент, когда заряд конденсатора принимает максимальное значение, производная заряда по времени равна нулю в момент, когда q = q m Договоримся далее обозначать буквой q заряд левой пластины. (В момент, когда функция имеет максимум, ее производная обязательно равна нулю.) q (Это произвольный выбор. Ничуть не хуже было бы обозначить буквой q заряд правой пластины.) 2. Покажем, что производная заряда конденсатора по времени величина, связанная с силой тока. По определению (Опорный конспект «VII. Постоянный ток» п. 2) сила тока это отношение заряда dq через сеч., прошедшего через сечение провода за время dt в направлении обхода, ко времени dt. I = dq через сеч. / dt Направление обхода это выбранное произвольно положительное направление (Опорный конспект «VII. Постоянный ток» п. 5) От этого направления зависит знак силы тока и знак ЭДС. обход Тогда заряд dq через сеч., который проходит через сечение провода в направлении обхода, весь попадает на левую пластину конденсатора и получается равен приросту заряда dq на этой пластине. dq через сеч. = dq Выберем обход в нашей схеме по часовой стрелке (чтобы ЭДС нашего источника было положительным числом).

3. Таким образом, в момент, когда заряд конденсатора принимает максимальное значение, сила тока в катушке равна нулю = 0 в момент, когда q = q m 4. Закон сохранения энергии для электрической цепи в самом общем виде записывается так: W кат + W кон + Q = А стор + А внеш работа сторонних сил в источниках тока (А стор ) и работа внешних механических воздействий (А внеш ) расходуется на изменение энергии катушек и конденсаторов, а также на выделение тепла в цепи (Q). В нашем случае тепло в цепи не выделяется, т. к. нет активного сопротивления (резисторов) Q = 0 Никаких внешних механических воздействий на систему тоже нет А внеш = 0 Сила тока в начальный момент (сразу после замыкания ключа) равна нулю и в конечный момент (когда на конденсаторе q = q m ) ток тоже равен нулю (см. пункт 3). Значит W кат = 0 Итак, закон сохранения энергии для нашего случая принимает вид W кон = А стор 5. В начальный момент энергия конденсатора СU 0 2 /2, а в конечный момент (когда на конденсаторе q = q m ) энергия конденсатора q m 2 /(2C). Таким образом, W кон = q m 2 /(2C) – СU 0 2 /2 7. Весь заряд q через ист., прошедший через источник в направлении обхода, попадает на левую пластину конденсатора. Значит, q через ист. равен приросту заряда на левой пластине q через ист. = q = q конеч – q начал В начальный момент заряд левой пластины равен q начал = –CU 0 В конечный момент заряд левой пластины равен q конеч = q m q через ист. = q m – (–CU 0 ) q через ист. = q m + CU 0 6. Работа сторонних сил источника по определению ЭДС равна произведению ЭДС на заряд, который прошел через этот источник в направлении обхода: А стор = q через ист. (Опорный конспект «VII. Постоянный ток» п. 5) А стор = q m + CU 0 q m 2 /(2C) – СU 0 2 /2 = q m + CU 0

8. В последнее уравнение подставляем U 0 = 0,5 и получаем квадратное уравнение: Каждый из них является зарядом левой пластины в момент, когда I = dq/dt = 0 Т. е. полученные значения – экстремумы функции q(t). Максимум и минимум. В данной задаче ответом является то значение, модуль которого больше (нам нужен именно максимальный заряд конденсатора). 4q m 2 – 8С q m – 5 2 C 2 = 0 У этого уравнения два корня: q m = 2,5 C и q m = – 0,5 C Итак, ответ: q m = 2,5 C = 50 мкКл