§ 10. Показательная и логарифмическая функции. Показательная функция Логарифмы Логарифмическая функция

Показательная функция Определение Построение графика показательной функции. Свойства показательной функции Решение показательных уравнений и неравенств Сдать тест

Определение Функция, заданная формулой y = a x (где а>0, а1), называется показательной функцией с основанием а Показательная функция

График показательной функции График функции График функции y = a x при a > 1 График функции График функции y = a x при 0 < a < 1 Показательная функция

Показательная функция. Построение графика показательной функции 1 x y c b=a c y = a x a >1 a>1 возрастающая Если основание a>1, то функция возрастающая

Показательная функция. x y 1 y = a x 0 < a < 1 c a c = b 0< a

Основные свойства показательной функции 1. Свойство Свойство 2. Свойство Свойство 3. Свойство Свойство 4. Свойство Свойство Показательная функция

1 Свойство Область определения – множество R действительных чисел. Показательная функция

2 Свойство Область значений – множество R + всех положительных действительных чисел. Показательная функция

3 Свойство При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0

4 Свойство При любых действительных значениях x и y справедливы равенства a x a y = a x+y a x :a y = a x-y (a b) x = a x b x (a:b) x = a x :b x (a x ) y = a xy Показательная функция

Решение уравнений и неравенств Решение уравнений Решение неравенств Решение систем уравнений Сдать тест

Решение уравнений 1. Пример Пример 2. Пример Пример 3. Пример Пример 4. Пример Пример Показательная функция

Решение уравнений Пример 1. Решите уравнение 7 x-2 = 3 49 Преобразуем 3 49 по определению степени с рациональным показателем 49=7 2, следовательно 3 49=7 2/3, следовательно данное уравнение можно записать в виде 7 x-2 = 7 2/3, так как основания равны, то и показатели можно сравнить x-2 = 2/3, то есть x = 8/3 Показательная функция

Решение уравнений Пример 2. Решим уравнение 5 x 2 -2x-1 = 25 Заметив, что 25 = 5 2 перепишем уравнение в виде 5 x 2 -2x-1 = 5 2, так как основания равны, то и показатели можно сравнить x 2 -2x-1 = 2. данное квадратное уравнение имеет два корня 3 и -1. Показательная функция

Решение уравнений Пример 3. Решим уравнение 6 x+1 +35*6 x-1 =71 Заметим, что 6 x+1 =6 x-1+2 =6 x-1 *6 2 =36*6 x-1, следовательно данное уравнение перепишем в виде 36*6 x-1 +35*6 x-1 =71, 6 x-1 (36+35)=71, то есть 6 x-1 =1, или 6 x-1 =6 0 следовательно x-1=0, или x=1. Показательная функция

Решение уравнений Пример 4. Решим уравнение 4 x -5*2 x +4=0. Cделаем замену t=2 x,заметим, что 4=2 2 и 4 х =(2 2 ) х = (2 х ) 2 получим квадратное уравнение t 2 -5t+4=0. Корнями этого уравнения являются числа 1 и 4. Вернемся к нашей замене 2 x = 1 и 2 x = 4. 2 x = 1 = 2 0, следовательно х=0 2 x = 4 = 2 2, следовательно х=2 Показательная функция

Решение неравенств Пример 1. Пример 2. Пример 3. Показательная функция

Решение неравенств Пример 1. Решим неравенство 0,5 7-3х

Решение неравенств Пример 2. Решим неравенство 6 х 2 +2х >6 3 Так как основание больше нуля (6>0), то функция возрастает. Данное неравенство можно переписать в виде х 2 +2х>3, решая которое получаем ответ х (-;-3) (1; ). Показательная функция

Решение неравенств Пример 3. Решим неравенство (1/9) х -28/3 х+1 +3

Решение систем уравнений Решим систему уравнений 2 х + 2 у = х-у = 3 Из второго уравнения видно, что 2х - у =1 откуда видно, что у = 2х – 1, подставив это выражение в первое уравнение, получаем 2 х + 2 2х – 1 = 12, преобразуем его, 2 х + 2 2х *2 -1 = 12, заменив 2 х на t, получим квадратное уравнение t+t 2 /2=12, или t 2 +2t-24=0, корни которого -6 и 4. вернувшись к замене получаем уравнения 2 х = 4=2 2, откуда х = 2. Уравнение 2 х = - 6 решений не имеет. Подставив х = 2 в уравнение у = 2х – 1 получаем, что у = 3. Ответ: (2;3) Показательная функция

Логарифмы Определение Свойства логарифмов Вычисление логарифмов Сдать тест

Определение Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b. a log a b = b – основное логарифмическое тождество, где b > 0, a > 0, a 1 Логарифмы

Свойства При любом a > 0 (a 1) и любых положительных x и y выполняются равенства: 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a ( x*y) = log a x + log a y 4. log a (x/y) = log a x – log a y 5. log a x p = p*log a x 6. log a p x = (1/p)*log a x 7. log a b = 1/log b a Переход к новому основанию можно выполнить при помощи свойства log a x =log b x /log b aЛогарифмы Логарифм х по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg x

Вычисление П р и м е р 1 П р и м е р 1 П р и м е р 2 П р и м е р 2 П р и м е р 3 П р и м е р 3 П р и м е р 4 П р и м е р 4 П р и м е р 5 П р и м е р 5 П р и м е р 6 П р и м е р 6 П р и м е р 7 П р и м е р 7 П р и м е р 8 П р и м е р 8Логарифмы

Пример 1 Найдем значение log 2 32, заметим, что 2 5 = 32, то есть для того чтобы получить 32 нужно 2 возвести в 5 степень. Следовательно log 2 32 = 5. Найдем значение log 5 0,04, заметим, что 0,04 = 1/25 = 1/5 2 = 5 -2, поэтому log 5 0,04 = -2 Логарифмы

Пример 2 Найдем логарифм числа 1/9 по основанию 3. (log 3 1/9 ) Заметим, что 1/9 = (1/3) 2 = 3 -2 = (3 -4 ) 1/2 = = (3 1/2 ) -4 = (3) -4. Поэтому по определению логарифма log 3 1/9 = log 3 (3) -4 = - 4 Логарифмы

Пример 3 Найдем х, такое, что log 8 х = 1/3. Воспользовавшись основным логарифмическим тождеством мы получим, что х = 8 log 8 х = 8 1/3 = 3 8 = 2 Найдем х, такое, что log х 8 = - 3/4. Воспользовавшись определение м логарифма, мы получим, что х - 3/4 = 8, чтобы избавиться от степени в левой части, возведем обе части в степень - 4/3. (х - 3/4 ) - 4/3 = 8 - 4/3, следовательно х = 8 - 4/3 = (1/8) 4/3 Логарифмы

Пример 4 Найдем log 0,3 7. воспользуемся свойством перехода к новому основанию. log 0,3 7 = lg 7/lg 0,3. С помощью таблиц найдем приближенное значение lg 7 0,8451, а lg 0,3 - 0,5229. Следовательно получаем log 0,3 7 = 0,8451/ (- 0,5229) = -1,6162 Логарифмы

Пример 5 Известно, что log 2 5 = a и log 2 3 = b. Выразим log через a и b. Воспользуемся свойством логарифма произведения log = log 2 (3*5 2 *2 2 ) = log log log Воспользовавшись 5 свойством и определением логарифма получаем log = log log log 2 2 = = a + 2b + 2 Логарифмы

Пример 6 Выразим логарифм выражения 8а 3 7b 4 через log 2 a и log 2 b. (коротко говоря прологарифмируем данное выражение по основанию 2.) Воспользуемся 3 основным свойствам логарифмов. log 2 (8а 3 7b 4 )= log 2 (2 3 а 3 b 4/7 )= log log 2 а log 2 b 4/7 =3 log log 2 а + (4/7) log 2 b= 3+ 3 log 2 а + (4/7) log 2 b, так как log 2 2 = 1 по определению логарифма. Логарифмы

Пример 7 Найдем х, если log 5 x = log 5 7+2log 5 3-3log 5 2. Воспользовавшись 3, 4, 5 свойствами преобразуем правую часть выражения. log 5 7+2log 5 3-3log 5 2= log 5 7+log log = = log 5 (7*3 2 /2 3 ) = log 5 (7*9/8) = log 5 63/8. Вернувшись к заданию несложно заметить, что log 5 x = log 5 63/8, так как основания логарифмов равны, то следовательно и подлогарифмические выражения должны быть равны, то есть х = 63/8 = 7,875 Логарифмы

Пример 8 Найдем значение выражения (lg72 - lg9) (lg28 - lg7) Преобразуем сначала числитель дроби, пользуясь свойствами логарифмов lg72 - lg9=lg72/9 =lg8 = =lg2 3 =3lg2. Теперь преобразуем знаменатель lg28 - lg7=lg28/7=lg4=lg2 2 =2lg2. Вернемся к нашему заданию и разделим числитель на знаменатель. 3lg2 3 2lg2 2, сократив дробь на lg2 Логарифмы

Логарифмическая функция Определение Свойства функции Построение графика функции Решение логарифмических уравнений и неравенств Сдать тест

Определение Функцию, заданную формулой y = log a x, называют логарифмической функцией с основанием а, где основание а – положительное число и не равное 1 Логарифмическая функция

Основные свойства 1. Область определения функции – множество всех положительных чисел R +, то есть D(log a )=R + 2. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел. 3. Логарифмическая функция на всей числовой прямой возрастает, если основание a > 1, и убывает на всей числовой прямой если основание 0 < a < 1. Логарифмическая функция

Построение графика График функции График функции y = log a x при a > 1 График функции График функции y = log a x при 0 < a < 1 Логарифмическая функция

Если основание a > 1, то функция возрастающая, следовательно график идет вверх Построение графика функции Логарифмическая функция 0 х у b abab y = log a x при a > 1 1

Логарифмическая функция Построение графика функции Если основание 0 < a < 1, то функция убывающая, следовательно график идет вниз. у х 1 0 y = log a x при 0 < a < 1 abab b

Решение логарифмических уравнений и неравенств Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4 Пример 5 Пример 6 Логарифмическая функция

Пример 1 Решим уравнение log 2 (x 2 +4x+3)=3 По определению логарифма получаем выражение (x 2 +4x+3)=3 2, после преобразований получаем квадратное уравнение x 2 +4x-5=0, после решения которого получаем корни 1 и -5, следовательно эти числа являются корнями данного уравнения. Они также удовлетворяют неравенству x 2 +4x+3>0, так как подлогарифмическое выражение должно быть по определению положительным. Логарифмическая функция

Пример 2 Решим уравнение log 5 (2x+3)=log 5 (x+1) Это уравнение определено при 2x+3>0 и x+1>0, то есть x>-1(ОДЗ). Для них равносильно неравенство 2x+3=x+1, так как основания равны. Решая его получаем x=-2, но -2 не больше -1 (не удовлетворяет ОДЗ), следовательно уравнение не имеет корней. Логарифмическая функция

Пример 3 Решим уравнение log x (x 2 -2x+2)=1. Этому уравнению удовлетворяют такие числа x, для которых выполнены условия x>0 и x1(ОДЗ), так как х является основанием логарифма. Тогда можно перейти к уравнению, по определению логарифма x 2 -2x+2= х, решая которое получаем корни 1 и 2, но x1, следовательно решением нашего уравнения является число х=2 Логарифмическая функция

Пример 4 Решим неравенство log 1 / 3 (5-2x)>-2. По определению подлогарифмическое выражение равно основанию в степени -2, то есть 5-2x=( 1 / 3 ) -2, но в нашем случае неравенство, поэтому учитывая, что функция убывающая (основание 1 / 3

Пример 5 Решим уравнение log 5 2 x-log 5 x-3=0. Воспользуемся свойством log a p x = (1/p)*log a x, так как 5=5 1 / 2, то log 5 x=2log 5 x, тогда введем новую переменную log 5 x=t и получим уравнение t 2 -2t-3=0. Решением его являются числа 3 и -1. вернемся к подстановке log 5 x=3 и log 5 x=-1, то есть x=5 3 и x=5 -1, или х=125 и х= 1 / 5 Логарифмическая функция

Пример 6 Решим систему уравнений lg(y-x)=lg2 log 2 x-4=log 2 3-log 2 y Первое уравнение равносильно y-x=2, y=2+x во втором 4=log 2 16, следовательно воспользовавшись свойством логарифма отношения получим log 2 (x/16)=log 2 (3/y), оно равносильно уравнению x/16= 3/y, причем x>0, y>0, подставив в него y=2+x, получим x(x+2)=48, откуда х 2 +2х-48=0, решая его получим х=-8 и х=6, но так как x>0, то ответ х=6, а у=2+6=8. Логарифмическая функция