Физический эксперимент. Статистическая обработка результатов физического эксперимента Физические измерения Погрешность измерения Погрешность прямого измерения Погрешность косвенного измерения Пример измерений и статистической обработки результатов измерений Правила округления

ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ Цель эксперимента – определить значение физической величины. Значение физической величины – это ее оценка в виде некоторого числа принятых для нее единиц измерения. Измерение – нахождение значения физической величины с помощью специальных технических средств (измерительных приборов). Измерения могут быть прямыми, при которых значение физической величины находят непосредственно из опытных данных (показания измерительных приборов), и косвенными, при которых значение физической величины рассчитывают на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, определяемыми путем прямых измерений. Основное качество измерения – его точность. Оценка точности результата измерения – неотъемлемая часть эксперимента. Эту оценку можно сделать, найдя погрешность измерения.

ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ Любая физическая величина обладает истинным значением, идеальным образом отражающим соответствующие свойства объекта. Однако, несовершенство средств измерений, физическая природа самой измеряемой величины, а также другие факторы приводят к тому, что эксперимент дает не истинное значение физической величины, а ее приближенное значение. Действительным значением физической величины называют значение физической величины, найденное экспериментальным путем. Это значение должно быть достаточно близко к истинному значению, чтобы быть использованным вместо него. При многократных измерениях в качестве действительного значения физической величины принимают среднее арифметическое значение результатов измерений. х хiхi х1х1

ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ х Погрешность измерения – отклонение результата измерения от истинного значения. При многократных измерениях оценка погрешности производится следующим образом: x Доверительный интервал 1.Проводят серию из n измерений. 2.Вычисляют среднее арифметическое значение результатов измерений. 3.Используя методы математической статистики и теории вероятностей определяют ширину доверительного интервала, о котором известно, что истинное значение измеряемой физической величины лежит в его пределах с заданной вероятностью. 4.Абсолютную погрешность принимают равной половине ширины доверительного интервала. 5.Значение измеренной физической величины записывают в виде Эта запись эквивалентна утверждению, что истинное значение находится в пределах доверительного интервала:

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПОГРЕШНОСТЬ По закономерностям проявления По форме числового выражения По источнику появления Абсолютная Относительная Систематическая Случайная Промах Методическая Средств измерения Эксперимента

ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ где – предел допускаемой инструментальной погрешности. Погрешность средств измерений рассчитывают так: Погрешность прямого измерения включает в себя погрешность средств измерения и случайную погрешность. Данные об измерительных приборах записывают в таблицу спецификации измерительных приборов, которая является неотъемлемой частью протокола измерений. Таблица 1. Спецификация измерительных приборов Название прибора и его тип Пределы измерения Цена деления Предел допускаемой инструментальной погрешности Линейка0 – 150 мм1 мм0,5 мм Для многократных измерений Для однократных измерений

ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ Для измерительных приборов с непрерывным отсчетом (линейка, транспортир и т.п.) предел допускаемой инструментальной погрешности принимается равным половине цены деления шкалы. Для измерительных приборов с дополнительной шкалой нониусом (штангенциркуль, микрометр и т.п.) предел допускаемой инструментальной погрешности принимается равным цене деления нониуса. Для измерительных приборов со скачущей стрелкой (секундомер) предел допускаемой инструментальной погрешности принимается равным цене деления шкалы. Для цифровых приборов для каждого предела измерения в паспорте приводится формула для определения относительной или абсолютной погрешности.

ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ где t p,n – коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности P и числа измерений n ; среднее арифметическое значение результатов измерений; x i результат текущего измерения; S x среднеквадратичное отклонение от среднего значения (дисперсия), вводится в математической статистике для оценки разброса результатов измерений от среднего арифметического. Случайная погрешность проявляется в разбросе экспериментальных данных при измерении одной и той же физической величины при одинаковых условиях и рассчитывается по формуле Стьюдента:

ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ Результирующая погрешность: Доверительной вероятностью Р называется вероятность, с которой доверительный интервал накрывает случайное отклонение результата наблюдения. Чем больше доверительная вероятность, тем больше ширина доверительного интервала. В рядовых физических экспериментах обычно выбирают Р = 0,95. Это значит, что 95% измерений дадут значения, попадающие в доверительный интервал. х x сл Доверительный интервал Еще один фактор, влияющий на ширину доверительного интервала – надежность данной серии экспериментов, чем больше число измерений n, тем более надежным является эксперимент и тем меньше ширина доверительного интервала. Число измерений следует выбирать таким, чтобы случайная погрешность была меньше погрешности средств измерения.

Пусть при косвенном измерении искомое значение физической величины y находят из соотношения y = f(x 1, x 2, x 3,...), где x 1, x 2, …x i – значения физических величин, найденные в результате прямых измерений, или заданные как данные установки. Абсолютная погрешность косвенного измерения определяется по формуле где x i – погрешности прямых измерений; частные производные. ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ При косвенном измерении искомое значение физической величины рассчитывают используя известную зависимость (формулу) между этой величиной и другими величинами, определяемыми путем прямых измерений. В формулу кроме результатов прямых измерений могут входить также физические постоянные, табличные значения и данные экспериментальной установки.

то в этом случае удобно вывести формулу для абсолютной погрешности Пример: Если искомая величина определяется суммой ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Если искомая величина определяется произведением степенных функций то в этом случае удобно сначала вывести формулу и вычислить относительную погрешность Пример: ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ и затем абсолютную погрешность

Трансцендентные и иррациональные величины, физические постоянные, как правило, определены весьма точно. Например π = 3,14159…, число Авогадро N А = (6, ± 0, )· /моль, ускорение свободного падения на широте Москвы g = (9,80655 ± 0,00005) м/с 2. Учет погрешностей трансцендентных и иррациональных величин Обычно в расчетную формулу подставляют округленные значения таких величин: Если при этом взять на одну значащую цифру больше, чем число значащих цифр в результатах прямых измерений, то относительная погрешность округления будет заведомо много меньше относительной погрешности прямых измерений. В таком случае данное число можно считать точным и его погрешностью пренебречь.

Пример. Пусть вычисляется площадь круга по формуле S = r 2. Если взять = 3,142, то относительная погрешность округления числа будет на два порядка меньше относительной погрешности измерения радиуса: В результате прямых измерений получено значение радиуса r = (1,35 0,03) см. Учет погрешностей трансцендентных и иррациональных величин В этом случае число можно считать точным и относительную погрешность площади рассчитать по формуле Формула для определения относительной погрешности имеет вид

Погрешность табличных данных и данных установок принимается равной половине единицы последнего разряда значения, приведенного в таблице или на установке. Учет погрешностей физических постоянных, табличных значений, данных установок m = ±0,05 г = 123,02 с, τ = ± 0,005 с l = ± 0,5 мм т = 123,4 г l = 123 мм, – это цифры. 65,32 это число. Число состоит из знака, цифр и разделителя. разряд десятых Половина единицы разряда сотых – 0,005

ПРИМЕР ИЗМЕРЕНИЙ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Необходимо определить объем цилиндра радиусом R и высотой h. h R Радиус цилиндра задан R = 18 мм. Высота цилиндра h определяется путем прямого измерения. Измерения проводятся штангенциркулем с ценой деления нониуса 0,1 мм. Таблица 1. Спецификация измерительных приборов Название прибора и его тип Пределы измерения Цена деления Предел допускаемой инструментальной погрешности Штангенциркуль мм0,1 мм Данные установки: R = 18 мм; R = ± 0,5 мм. Объем рассчитываем по формуле:

h, мм Измерим высоту цилиндра пять раз с помощью штангенциркуля. Результаты измерений запишем в табл.2. Таблица 2. Измерение высоты образующей цилиндра

Прямое измерение высоты цилиндра h, мм 112,3 212,1 312,2 412,3 512,1 h

Статистическая обработка результатов измерения Рассчитаем объем цилиндра по среднему значению h (возьмем число π = 3,14 – на одну цифру после запятой больше, чем в значении высоты): h, мм 112,3 212,1 312,2 412,3 512,1 По результатам измерений определим среднее значение h: Таблица 2. Измерение высоты образующей цилиндра

Статистическая обработка результатов измерения Относительной погрешность числа числа π можно пренебречь. Выведем из расчетной формулы формулу для вычисления относительной погрешности :

Статистическая обработка результатов измерения h, мм 112,3 212,1 312,2 412,3 512,1 Определим погрешность прямого измерения h. Погрешность средств измерения: Случайную погрешность h сл вычисляем по формуле Для доверительной вероятности P = 0,95 и числа измерений n = 5 коэффициент Стьюдента t p,n = 2,776 (значения коэффициента Стьюдента приведены в таблице). h сл = 0,34 мм Результирующая абсолютная погрешность :

Статистическая обработка результатов измерения Относительная погрешность объема цилиндра рассчитывается по формуле: Вычислим абсолютную погрешность измерения объема цилиндра: V = δ V V ср = 0,065·12411,792 = 806,767 мм 3. V ср = 12411,792 мм 3. Как правильно округлить значение погрешности и среднего значения? Вычислим относительную погрешность измерения высоты и радиуса цилиндра:

– если первая значащая цифра 3, 4,..., 9, то значение погрешности округляется до одной значащей цифры. 1,037 1,0 Правила округления результатов измерений Сначала округляется значение абсолютной погрешности: – если первая значащая цифра 1 или 2, то значение погрешности округляется до двух значащих цифр; 0,235 0,24 0, ,43 1, , 125 0,045 0,05 7, , ,85 первая цифра 1 Округляем до двух цифр 14 3,85 первая цифра 3 Округляем до одной цифры 4 0,13 0,5

Затем округляется среднее значение измеряемой величины: - последняя значащая цифра в среднем значении должна стоять в том же разряде, что и последняя значащая цифра в округленном значении абсолютной погрешности. (123,072 1,04) (123,1 1,0) Правила округления результатов измерений (467,202 0,502) (467,2 0,5) (1234,5 165,4) (1,23 0,17) ,25 Среднее значение: 163,248 мм Погрешность: 0,235 мм 0,24 мм 163,25 мм l = ( 0,24 ) мм

Запись окончательного результата измерений V = 806,767 мм 3 V ср = 12411,792 мм 3 8·10 2 мм 3 124·10 2 мм 3 V = (124 ± 8)·10 2 мм 3, Р = 0,95 Запишем окончательный результат измерения объема цилиндра: V = (12,4 ± 0,8) см 3, или Р = 0,95 Выход