В последнее время в Интернете стали доступны электронные копии лекций по математике В.Босса, вышедших в 2004 г., а также его книги Интуиция и математика. К сожалению, я с большим запозданием с ними познакомился, и сейчас не могу не отреагировать хотя бы в виде послесловия. Вопрос, который сразу же возникает - каков смысл моих публикаций при наличии столь грандиозного и всеобъемлющего творения, как многотомник Босса. Судя по всему, у нас одинаковы побудительные мотивы и представления о том, что такое хорошо и что такое плохо. И при несоизмеримости объемов мое пособие может служить своеобразным введением в отдельные главы. А поскольку некоторые детали рассмотрены в ином ракурсе, оно является также дополнением к ним. О том, прав ли я, судить читателям. Хотел бы знать их мнения по этому поводу. А сейчас не могу отказать себе в удовольствии процитировать выбранные почти случайно фрагменты из работ В.Босса. Надеюсь, это побудит многих к знакомству с первоисточником.

Пример 1. Показывает, какой степени наглядности можно добиваться (текст незначительно изменен). Но решение оказывается неожиданно простым, если посмотреть на задачу шире. Даны три окружности разного радиуса, и к каждой их паре проведены общие касательные. Требуется доказать, что все точки попарного пересечения касательных лежат на одной прямой. На первый взгляд кажется, что здесь требуются сложные многоступенчатые рассуждения. В.Босс. Интуиция и математика.

Построим на каждой окружности шар с тем же центром и того же радиуса. Приложим касательную плоскость к трем шарам. Легко убедиться, что линия ее пересечения с исходной плоскостью и есть та самая прямая. В самом деле: исходные касательные (черные линии) есть образующие касательных к шарам конусов, третья образующая – линия касания плоскости и конуса (синие пунктиры), и на ней же точки касания с шарами. Ясно, что на каждом конусе все три прямые пересекаются в его вершине. И все три вершины лежат на линии пересечения плоскостей (красный пунктир). Вот и всё!

В чем поучительность примера? Во-вторых, «получено решение, вскрывающее природу задачи. Важна не краткость сама по себе, а обнаружение причины, источника». Такие возможности нужно искать в прикладных задачах, например, в теории доменного процесса или теоретической экономике, и они существуют, но часто неизвестны не только практикам, но и теоретикам. Во-первых, успешным оказался выход за рамки изучаемой проблемы – использование третьего измерения в планиметрической задаче.

Пример 2. Из «лекций», т. 1. Выделения мои (А.Шур).

Помещая здесь этот отрывок, я хотел показать на конкретном материале, что придерживаюсь одинаковых с В.Боссом дидактических принципов, что не мешает частные вопросы решать по-разному. Подчеркнутый текст в конце второго примера – одна из ключевых мыслей Босса, и именно ею (пусть выраженной другими словами) я руководствовался в своем пособии. Характерные примеры этого рода у меня, притом решенные иначе, чем это сделано у В. Босса – способ доказательства теоремы Ньютона-Лейбница; ариаднина нить от исходных понятий к этой теореме; способ дифференцирования функций с двухканальной зависимостью от аргумента. И это – из числа конкретных вопросов, по которым хотелось бы знать мнение читателей. Если, прочитав мое пособие, читатель обратится к книгам В.Босса, я буду считать свой труд не напрасным.