Элементы теории перколяции

Аппроксимация эффективной среды Считая, что по-прежнему и Если проводимости ik всех связей разные, то нужно усреднить выражение Когда все связи одинаковы и проводимости их ik = m, то получим

Проблемы аналитических решений перколяционных задач n = 6n = 6 n = 4n = 4 n = 5n = 5 Ниже порога x < x c

Два типичных типа перколяционных задач: 1. Определение порогов. Аналитические решения существуют только для размерностей d = 1, d = и нескольких конкретных задач с размерностью d = Поведение функций вблизи порога (определение критических индексов) Пример: Мощность бесконечного кластера P(x)

x = 0.58 < x c x = 0.60 x c x = 0.62 x c Перколяция в задаче узлов на квадратной решетке 160 Из книги J. Feder, Fractals (Plenum Press, 1988) Есть русский перевод Дж. Федер, Фракталы, 1991)

Перколяционные пороги для типичных решеток I s и I b эмпирические инварианты, I b d / (d 1)

Увеличение числа ближайших соседей (рост радиуса взаимодействия) Каждый узел связан с тремя слоями ближайших соседей. В кластер входит 4 узла Каждый узел связан с четырьмя слоями ближайших соседей. В кластер входит 7 узлов

Перколяция в системе случайных узлов Когда радиус взаимодействия r много больше периода решетки, существенно лишь количество узлов внутри этого радиуса, т.е. (N - концентрация), а их взаимное расположение (симметрия решетки) несущественно. 3D

Континуальные задачи Функция U(r) предполагается статистически симметричной относительно преобразования U U и статистически изотропной S1S1 S2S2 S 1 = S 2 =1/2 S 1 + S 2 =1 Для размерности d = 2 на пороге

Окрестность перколяционного перехода Статфункции концентрации открытых узлов Мощность бесконечного кластера P(x); P(x с )= 0 w(s,x) вероятность того, что открытый узел принадлежит к конечному кластеру с s узлами Среднее число узлов конечного кластера S(x); S(x с )= Корреляционная длина (x); (x с ) = Вспомогательные функции Основные функции q(r,x) вероятность того, что узел на расстоянии r от открытого узла тоже открыт и принадлежит тому же конечному кластеру q(0)=1, q(a)=x

Основной постулат : В окрестности перколяционного перехода P, S и степенные функции разности | x x c | Критические индексы и одинаковы по обе стороны порога Значения критических индексов Получены аналитически Получены численно Аналогия с фазовыми переходами второго рода Концентрация х Температура Т Мощность бесконечного кластера Р Параметр порядка Корреляционная длина

Электропроводность бесконечного кластера вблизи порога Токонесущий остов и мертвые концы в бесконечном кластере вблизи порога протекания Из книги J. Feder, Fractals (Plenum Press, 1988) Есть русский перевод Дж. Федер, Фракталы, 1991)

Задача: Найти сопротивление простой кубической решетки, связи в которой имеют сопротивления в экспоненциально большом интервале значений u случайная величина, с вероятностью F(u)=const=1/u 0 принимающая любые значения из разрешенного интервала. Постепенно включаем связи, начиная с самых высокопроводящих (u=0) до тех пор, пока при некотором u c Чтобы по бесконечному кластеру пошел ток, порог x c должен быть превышен на x = x x c = u/u 0. К орреляционная длина при этом конечна

Токонесушая структура перколяционного кластера имеет вид сетки (двумерной или трехмерной) с размером ячейки и с сопротивлением между двумя узлами порядка Удельное сопротивление такой 3D сетки имеет минимум при u = так что (e / = 2.7 и