Критерии постоянства и монотонности функции на интервале Необходимое условие локального экстремума функции Достаточные условия экстремума Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Критерии постоянства и монотонности функции на интервале ТЕОРЕМА 1. Дифференцируемая на интервале (а, b) функция f(x) = const на (а, b) f (x) = 0 для всех х (а, b). ТЕОРЕМА 2. Дифференцируемая на интервале (а,b) функция f(x) возрастает (убывает) на (а, b) f (x) 0 (f (x) 0) на (а, b). a b x y 0 f (x) = 0 x y 0 a b x y 0 ab f (x) > 0 f (x) < 0

Локальный экстремум и теорема Ферма ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка х о называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность этой точки U (x о ), в которой функция определена и для всех х U (x о ) выполняется неравенство f(x) f(x о ) ( f(x) f(x о ) ). Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума. x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x y 0 y = f(x)

ТЕОРЕМА ( Ферма ). Если x о – точка локального экстремума функции f(x) и функция дифференцируема в этой точке, то f ´(x о ) = 0. Доказательство. Пусть x o – точка локального минимума функции f(x), т.е. для всех х U (x о ) выполняется неравенство f(x) f(x о ). Тогда x y 0 y = f(x) x0x0 Так как f(x) дифференцируема в точке х 0, то существуют Отсюда следует, что f ´(x о ) = 0, ч.т.д. f (x0)f (x0)

ПЬЕР ФЕРМА (Pierre Fermat) (1601–1665) Французский математик. По профессии юрист. Считался знатоком классической литературы, лингвистом и поэтом. Математика была для Ферма лишь увлечением, тем не менее, он заложил основы многих ее областей – аналитической геометрии, исчисления бесконечно малых, теории вероятностей. Переписывался с Рене Декартом по вопросам аналитической геометрии, первым применил ее методы к трехмерному пространству. С именем Ферма связана знаменитая теорема из области теории чисел, так называемая «великая» теорема Ферма.

Необходимое условие локального экстремума функции Пусть х 0 – точка локального экстремума функции f(x). При этом возможны два случая: Таким образом, точки локального экстремума следует искать среди точек, в которых производная равна нулю либо не существует. Эти точки называются критическими точками функции. Однако, не всякая критическая точка является точкой локального экстремума. x0x0 x0x0 Существует f (x 0 ). Тогда, по теореме Ферма, f (x 0 ) = 0. Не существует f (x 0 ). x x

Достаточные условия экстремума ТЕОРЕМА 1. ( Первое достаточное условие экстремума ) Пусть f(x) непрерывна в точке х 0 и дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки. Если f (x) > 0 в левой полуокрестности и f (x) < 0 в правой полуокрестности точки х 0, то х 0 точка строгого локального максимума. Если f (x) 0 в правой полуокрестности точки х 0, то х 0 точка строгого локального минимума. Доказательство (для максимума). x0x0 x 0 - δx 0 + δ f (x) > 0 f (x) < 0 Если f (x) > 0 x (x 0 - δ, x 0 ), то f(x) возрастает в левой полуокрестности точки х 0, т. е. f(x)< f(x 0 ), если f (x) < 0 x (x 0, x 0 +δ), то f(x) убывает в правой полуокрестности точки х 0, т.е. f(x) < f(x 0 ). Таким образом, f(x) < f(x 0 ) x (x 0 - δ, x 0 + δ ) и х 0 – точка строгого локального максимума. x

ПРИМЕР. Исследуем на экстремум функцию 124/3 х x = 2 – точка локального максимума, f(2) = 0. x = 4/3 – точка локального минимума, -

ТЕОРЕМА 2. ( Второе достаточное условие экстремума.) Пусть f (x 0 ) = 0 и существует f ( x 0 ). Тогда если f (x 0 ) > 0, то x 0 – точка строго локального минимума, если f (x 0 ) < 0, то x 0 – точка строго локального максимума. Доказательство (для минимума). Пусть то есть f (x) 0 в правой полуокрестности точки x 0. Следовательно, согласно предыдущей теореме, это точка локального минимума. x0x0 x0x0 xx f (x 0 ) > 0f (x 0 ) < 0

Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке Пусть функция у = f(x), определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Поставим задачу об отыскании максимального и минимального значений функции на [a, b]. Доказано, что (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на отрезке, обязательно достигает в некоторой точке отрезка своего максимального (минимального) значения. Максимальное значение функции может достигаться либо во внутренней точке х 0 отрезка (тогда оно совпадает с одним из локальных максимумов функции f(x)), либо на одном из концов отрезка. Аналогично – для минимального значения. xxaabb y y 00 x0x0 f max = f (x 0 ) f max = f (b)

Отсюда ясно, что для нахождения максимального и минимального значений функции f(x) на отрезке [a, b] нужно –найти точки, в которых производная равна нулю либо не существует, так называемые, «критические» точки; –вычислить значения функции в критических точках; –вычислить значения функции на концах отрезка [a, b]; –сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее. Аналогичными средствами решается вопрос об отыскании максимального и минимального значения функции на интервале, полупрямой, бесконечной прямой (при условии, что это значение существует).

Пример из физики. Пусть требуется определить, какое сопротивление х нужно включить в цепь последовательно с данным сопротивлением r, чтобы на r выделилась наибольшая мощность (при этом напряжение u 0 батареи считается постоянным). По закону Ома ток I в цепи равен Следовательно, падение напряжения u r на сопротивлении r равно Мощность w(x), выделяемая на сопротивлении r, равна Iuouo xr

Так как по физическому смыслу сопротивление х не может быть отрицательным, то задача сводится к отысканию наибольшего значения функции w(x) на полупрямой [0, + ). Вычислим производную этой функции: Нетрудно заметить, что w (x) < 0 всюду на полупрямой [0, + ) и точек возможного экстремума нет. Таким образом, функция w(x) убывает всюду на полупрямой [0, + ) и ее максимальное значение на этой полупрямой достигается при х = 0 и равно x 0 w(x)w(x)

Спасибо за внимание!