ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ « ХИЩНИК - ЖЕРТВА » Существование и устойчивость положений равновесия

Математическая модель (1) 2 X(t) – численность « жертвы » в момент времени t, Y(t)Y(t) – численность « хищника » в момент времени t, A, B – постоянные коэффициенты прироста « жертвы » и « хищника » соответственно без учета взаимодействия видов, причем A > 1, 0 < B < 1 ;, – положительные постоянные, учитывающие внутривидовую конкуренцию в популяциях « жертвы » и « хищника » соответственно ;, – положительные постоянные, учитывающие межвидовые взаимодействия.

Уменьшим размерность области параметров, выполнив замену При этом система (1) примет вид где Преобразование модели 3 (2) Допустимые значения параметров модели : A > 1, 0 0, b > 0.

Найдем положения равновесия системы (2), решая систему уравнений : Положения равновесия : 1)P 0 (0; 0), 2)P 1 (ln A; 0), 3)P 2 (x*; y*), где Положение равновесия P 2 имеет смысл, если a ln A + ln B > 0. Положения равновесия 4 1) Если a ln A + ln B = 0, то P 1 = P 2. 2) Решение ( 0; ln B ) системы (3) не является положением равновесия системы (2), так как ln B < 0. (3) Система (2) имеет два положения равновесия P 0 и P 1, если a ln A + ln B 0, иначе – три : P 0, P 1 и P 2.

Линеаризованная система 5 Для системы (2) в окрестности произвольного положения равновесия соответствующая линеаризованная система имеет вид : где (4) Положение равновесия системы (2) асимптотически устойчиво, если все собственные значения i матрицы линеаризованной системы (4) удовлет - воряют условию | i | < 1.

Анализ на устойчивость положений равновесия 6 Для точки P 0 система (4) принимает вид : Для собственных значений матрицы системы имеем : 1 = A > 1, 2 = B < 1. Следовательно, положение равновесия P 0 неустойчиво при всех допустимых значений параметров системы (2). Положение равновесия P 0 (0; 0)

Анализ на устойчивость положений равновесия 7 Для точки P 1 система (4) принимает вид : Собственные значения матрицы системы равны : 1 = 1 – ln A, 2 = BA a. Положение равновесия P 1 будет асимптотически устойчиво, если параметры A, B и a удовлетворяют условиям : Заметим, что, если положение равновесия P 1 асимптотически устойчиво, то в системе (2) нет * положения равновесия P 2. Положение равновесия P 1 (ln A; 0) * Нарушается условие существования точки P 2 : a ln A + ln B > 0.

Анализ на устойчивость положений равновесия 8 Для точки P 2 система (4) принимает вид : Собственные значения матрицы будут корнями уравнения : 2 – ( 2 – x* – y*) + 1 – x* – y* + x*y* = 0. Положение равновесия P 2 будет асимптотически устойчиво, если его координаты удовлетворяют условиям *: Положение равновесия P 2 (x*; y*) * Все корни уравнения 2 + a 1 + a 2 = 0 будут по модулю меньше единицы, если коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям : 1+ a 1 + a 2 > 0, 1– a 1 + a 2 > 0, a 2 < 1.

Существование и устойчивость положений равновесия Положения равновесия Условия существования Характер устойчивости P 0 (0;0) неустойчиво P 1 (ln A; 0) Асимптотически устойчиво, если a ln B + ln A < 0, 1 < A < e 2 P 2 (x * ; y * ) a ln A + ln B > 0 Асимптотически устойчиво, если 9

Область устойчивости P 2 ( x *; y *) y*y* x*x* 2 1/ 2/ 2 1/ 2/ 0 10

Динамика численности « жертвы » в отсутствии « хищника » 11 В отсутствии « хищника » (y(t) = 0 t 0) динамика численности « жертвы » описывается моделью Риккера *: (5) Свойства решений уравнения (5): 1.Существует два положения равновесия P 0 (0) и P 1 (ln A). 2.Если 1< A e 2, то положение равновесия P 1 асимптотически устойчиво. 3.Если A > e 2, то оба положения равновесия P 0 и P 1 неустойчивы, но существует цикл длины 2, который является устойчивым (притягиваю- щим), если A e *, где * 2, Если A > e *, то среди решений уравнения (5) есть цикл длины 4, для которого существует критическое значение A* параметра A такое, что при A < A* цикл длины 4 будет устойчивым. При дальнейшем возрастании значений параметра A встречаются устойчивые циклы длины 8, 16, …, 2 k ( k – любое натуральное число). * Подробное исследование динамики модели (5) дано в [1].

Динамика видов. Пример 1 12 ABabx(0)y(0) 2,50,30,5121 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(0,916; 0) Неуст. устойчиво

Динамика видов. Пример 1 13 ABabx(0)y(0) 2,50,30,5121 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(0,916; 0) Неуст. устойчиво При любой ненулевой начальной численности жертвы и хищника наблюдается вырождение хищника при t +. Численность жертвы стабилизируется на равновесном уровне ln A (A < e, монотонное затухание отклонений ).

Динамика видов. Пример 2 14 ABabx(0)y(0) 2,50,70,5120 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(0,916; 0)(0,849; 0,068) Неуст. устойчиво

Динамика видов. Пример 2 15 ABabx(0)y(0) 2,50,70,5120 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(0,916; 0)(0,849; 0,068) Неуст. устойчиво При любой ненулевой начальной численности жертвы в отсутствии хищника при t + численность жертвы стабилизируется на равновесном уровне ln A (A < e, монотонное затухание отклонений ).

Динамика видов. Пример 3 16 ABabx(0)y(0) 2,50,70,5121 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(0,916; 0)(0,849; 0,068) Неуст. устойчиво

Динамика видов. Пример 3 17 ABabx(0)y(0) 2,50,70,5121 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(0,916; 0)(0,849; 0,068) Неуст. устойчиво При любой ненулевой начальной численности жертвы и хищника при t + наблюдается стабилизация численности обоих видов на равновесном уровне. (A < e, монотонное затухание отклонений ).

Динамика видов. Пример 4 18 ABabx(0)y(0) 60,30,5121 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(1,792; 0) Неуст. устойчиво

Динамика видов. Пример 4 19 ABabx(0)y(0) 60,30,5121 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(1,792; 0) Неуст. устойчиво При любой ненулевой начальной численности жертвы и хищника наблюдается вырождение хищника при t +. Численность жертвы стабилизируется на равновесном уровне ln A ( e < A e 2, затухающие колебания ).

Динамика видов. Пример 5 20 ABabx(0)y(0) 60,70,5120 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(1,792; 0)1,432; 0,359) Неуст. устойчиво

Динамика видов. Пример 5 21 ABabx(0)y(0) 60,70,5120 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(1,792; 0)1,432; 0,359) Неуст. устойчиво При любой ненулевой начальной численности жертвы в отсутствии хищника при t + численность жертвы стабилизируется на равновесном уровне ln A (e < A e 2, затухающие колебания ).

Динамика видов. Пример 6 22 ABabx(0)y(0) 60,70,5121 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(1,792; 0)1,432; 0,359) Неуст. устойчиво

Динамика видов. Пример 6 23 ABabx(0)y(0) 60,70,5121 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(1,792; 0)1,432; 0,359) Неуст. устойчиво При любой ненулевой начальной численности жертвы и хищника при t + наблюдается стабилизация численности обоих видов на равновесном уровне.

Динамика видов. Пример 7 24 ABabx(0)y(0) 8,30,30,5121 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(2,116; 0) Неуст

Динамика видов. Пример 8 25 ABabx(0)y(0) 8,30,90,5120 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(2,116; 0)(1,481; 0,635) Неуст. устойчиво

Динамика видов. Пример 9 26 ABabx(0)y(0) 8,30,90,5121 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(2,116; 0)(1,481; 0,635) Неуст. устойчиво

Динамика видов. Пример ABabx(0)y(0) 140,20,5120 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(2,639; 0) Неуст

Динамика видов. Пример ABabx(0)y(0) 140,5 120 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(2,639; 0)(2,221; 0,418) Неуст. устойчиво

Динамика видов. Пример ABabx(0)y(0) 140,5 121 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(2,639; 0)(2,221; 0,418) Неуст. устойчиво

Динамика видов. Пример ABabx(0)y(0) 140,5 0,721 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(2,639; 0)(2,314; 0,464) Неуст. неустойчиво

Динамика видов. Пример ABabx(0)y(0) 60,42121 P0P0 P1P1 P2P2 (0; 0)(1,792; 0)(0,903; 0,889) Неуст.

Литература 32 1.Якобсон М. В. О свойствах динамических систем, порождаемых отображениями вида x Axe - x / Моделирование биологических сообществ. Владивосток, 1975, с. 141 – Шапиро А. П., Луппов С. П. Рекуррентные уравнения в теории популяционной биологии. М.: Наука, 1983.