Тема: «Моделирование в задачах роста» Цели: создать условия для усвоения учащимися теоретических сведений и учебных действий по теме «Моделирование в задачах роста»; создать возможность для реализации каждым учащимся своих способностей; развивать творческую активность, самостоятельность суждений учащихся; формировать культуру индивидуальной и коллективной учебной деятельности.

Постановка задачи (этап 1) Задача. В сберегательный банк в начале года положена сумма руб. На вклад ежегодно начисляется 25% (капитализиро- ванный процент). Вопросы. 1. Когда сумма вклада достигнет руб.? 2. Какой будет сумма вклада после 12 лет? 3. Каковы будут ответы на предыдущие вопросы, если, начиная с 5-го года, процент вырос до 40? 4. Каковы будут ответы на вопросы, если, начиная с 8-го года, процент упал до 15?

Необходимые пояснения Процент начисления называется простым, если основной вклад остаётся всё время прежним, а процент каждый год начисляется от него, но на отдельный счёт. В этом случае начальная задача решается элементарно с помощью математической модели (мысленной и документальной) следующим образом. Начисляется в год /100=75000руб. Разность = делим на и получаем, что к концу 8-го года вкладчик может получить руб. За 12 лет проценты набегут = и к ним основной вклад руб. Итого за 12 лет руб.

Необходимые пояснения Процент начисления называется капитализированным, если в конце года начисляемая сумма добавляется к основному вкладу и на следующий год процент начисляется на новую сумму вклада. И так каждый год. Очевидно, что более выгоден капитализированный процент. Именно этот вид начислений наиболее распространён.

Оценка имеющейся информации и вы- бор плана создания модели (этап 2) Объектом исследования является денежный вклад. Все конкретные свойства объекта заданы: начальная сумма вклада и процент роста по годам. Использование мысленной модели (вычисление в уме суммы вклада через 12 лет) нереально. Чтобы получить сумму вклада на каждый год, будем строить таблицу значений суммы вклада. Такую таблицу можно получить расчётами вручную или с помощью электронных таблиц (компьютерная реализация модели). Выбираем компьютерную реализацию. Причём для её построения необходимо сначала построить документальную модель с математическими формулами (математическую модель - вид по отраслям знаний). Таким образом, создание модели будет проходить в два этапа: 3а-создание документальной математической реализации модели; 3б-создание компьютерной реализации модели.

Создание документальной математи- ческой реализации модели (этап 3а) Если перенумеровать годы, начиная с первого, то пусть сумма вклада в i-ом году будет S(i), а процент роста - R(i) (по условию задачи процент может меняться). Тогда сумма вклада в i-ом году вычисляется по формуле: S(i)=S(i-1)(1+R(i-1)/100).

Создание компьютерной реализации модели (этап 3б) Для построения компьютерной реализации модели в электронных таблицах используем табличную схему модели (см. рис. 1).

Создание компьютерной реализации модели (этап 3б) В первую строку рабочей таблицы введём название «Модель процентного роста». Исходными данными для задачи являются начальная сумма вклада и начальный процент. В 3-4-ю строки внесём информацию: А3: В3: «-начальная сумма вклада А4: 25 В4: «%-начальный процент В расчётной таблице введём названия граф: А7: Год В7: Сумма С7: Процент

Создание компьютерной реализации модели (этап 3б) Ваша расчётная таблица должна получить вид как на рис. 2:

Создание компьютерной реализации модели (этап 3б) Каждому году, начиная с первого, отводится строка расчётной таблицы. Сначала заполняется первая строка расчётной таблицы (8-ая строка рабочей таблицы). В эту строку фактически «переносятся» начальные данные: А8: 1 В8: =А3 С8: =А4 вторая строка расчётной таблицы (9-я рабочей таблицы) - основная. В ней располагаются формулы вычислений: А9: =А8+1 {увеличение номера года на 1} В9: =В8*(+С8/100) {основная формула модели} С9: =С8 {перенос числового значения}

Создание компьютерной реализации модели (этап 3б) После внесения формул в 8-ую и 9-ую строки рабочая таблица примет вид, приведённый на рисунке 3:

Создание компьютерной реализации модели (этап 3б) Остальные строки расчётной таблицы (ещё 20) заполняются вниз блоком А9:С9. Для этого нужно выделить ячейки блока А9:С9, затем установить курсор мыши в нижний правый угол, выделенного блока, нажать левую кнопку мыши и тянуть вниз до 29 строки (рис. 4). Все имена в формулах не фиксированные.

Если вы сделали всё правильно, то полу- чите расчётную таблицу как на рис.5

Проверка адекватности модели (этап 4) Полная адекватность модели сомнений не вызывает, так как расчётные формулы модели полностью совпадают с расчётными формулами при начислении в сбербанке.

Получение решения задачи с помощью модели (этап 5) Для ответа на 1-ый и 2-ой вопросы задачи достаточно проанализировать расчетную таблицу. При этом следует учитывать, что данные в расчётной таблице дают сумму вклада на 1 января каждого года. Для ответа на 3-ий вопрос вносят изменения в столбец «Процент» расчётной таблицы. В строку этого столбца для 5-го года вносится число 40. Таблица автоматически пересчитывается. Для ответа на 4-ый вопрос поступают аналогично. 1 вопрос2 вопрос 3 вопрос 4 вопрос Ответ:... Ответ:... Далее...

Постановка задачи (этап 1) Задача. В сберегательный банк в начале года положена сумма руб. На вклад ежегодно начисляется 25% (капитализиро- ванный процент). Вопросы. 1. Когда сумма вклада достигнет руб.? 2. Какой будет сумма вклада после 12 лет? 3. Каковы будут ответы на предыдущие вопросы, если, начиная с 5-го года, процент вырос до 40? 4. Каковы будут ответы на вопросы, если, начиная с 8-го года, процент упал до 15?

Когда сумма вклада достигнет руб.? Ответ: сумма вклада достигнет руб. на 7-ом году

Какой будет сумма вклада после 12 лет? Ответ: сумма вклада после 12 лет достигнет ,6 руб.

Каковы будут ответы на предыдущие вопросы, если, начиная с 5-го года, процент вырос до 40? Ответ: сумма вклада достигнет руб. на 6-ом году; сумма вклада после 12 лет достигнет ,9 руб.

Каковы будут ответы на вопросы, если, начиная с 8-го года, процент упал до 15? Ответ: сумма вклада достигнет руб. на 6-ом году; сумма вклада после 12 лет достигнет ,5 руб.

Задача решена! Желаем успехов в дальнейшей самостоятельной работе! Будьте внимательны, не спешите. Если что - то у Вас не получается, то спросите у рядом сидящих учеников или учителя. КОНЕЦ!