Теория комплексных чисел

«настоящие» только натуральные числа- древнегреческие математики Введение отрицательных чисел- китайские математики за 2 века до н.э. VII в. индийские ученые сравнивали отрицательные числа с долгом XIII-XVI вв. отрицательные числа рассматривались в исключительных случаях- «ложные» XVII в. отрицательные числа получили всеобщее распространение

XVI в. изучение кубических уравнений ит. математик Н.Тарталья x 3 =px+q Корень уравнения: x= где u, v- решение системы уравнений

пример 1 x 3 =px+q Корень уравнения : x= где u, v- решение системы уравнений x 3 =9x+28 p=9, q=28 откуда u=27 и v=1 или u=1 и v=27

пример 2 x 3 =15x+4 х=4- действительный корень Не имеет решения во множестве действительных чисел x 3 =px+q Корень уравнения : x= где u, v- решение системы уравнений

1545 г. Дж.Кардано (ит.алгебраист)- «чисто отрицательные» 1572 г. Р.Бомбелли (ит.алгебраист)- первые правила арифметических операций 1637 г. Р.Декарт (фр.математик)- «мнимые числа»

1777 г. Л Эйлер (шв.математик) – обозначение i от латинского imaginarius - «мнимый» 1831 г. К.Гаусс (нем.математик)- символ i вошел в употребление

В течение XVIII в. были решены многие вопросы и прикладные задачи, связанные картография гидродинамика теория жидкости теория упругости радиотехника электротехника

Применение комплексных чисел в электротехнике Для расчета цепей постоянного тока Для расчета цепей переменного тока Упрощение расчетов Для расчета сложных цепей, которые другим путем решить нельзя

Навыки, полученные после изучения темы «комплексные числа» Находить модуль и аргумент комплексного числа и комплексное число по его модулю и аргументу Переводить комплексное число из одной формы в другую. Производить арифметические действия над комплексными числами Строить вектор по комплексному числу и определять комплексное число по его вектору

Мнимая единица Мнимая единица- это число, квадрат которого равен –1. i 2 = -1 - мнимая единица

Степени мнимой единицы

если n:4 (ост.0), то i n = 1=i 0 если n:4 (ост.1), то i n = i=i 1 если n:4 (ост.2), то i n =-1=i 2 если n:4 (ост.3), то i n =-i=i 3 i 28 =1 т.к. 28:4=7(ост.0) i 35 =-i т.к. 35:4=8(ост.3) Вычислить: i 13 +i 14 +i 15 +i 16 Ответ: 0

Алгебраическая форма комплексного числа Числа вида a+bi, где a,b, i- мнимая единица называются комплексными а - дейсвительная часть компл.числа a=Re z bi - мнимая часть компл.числа b - коэффициент при мнимой единице b=Im z

z=a+bi Если a=0, то z=bi- чисто мнимое Если b=0, то z=a- действительное Если a=0 и b=0, то z=0 z=a+bi - алгебраическая форма комплексного числа

Равенство комплексных чисел Два комплексных числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице: Пример.Найти х и у: Решение:

Операции над комплексными числами Определим сумму Определим произведение Определим разность

Свойства операций Коммутативность относительно сложенияz 1 +z 2 =z 2 +z 1 Ассоциативность относительно сложения (z 1 +z 2 )+z 3 = z 1 +(z 2 +z 3 ) Для z 1,z 2 z: z 1 +z=z 2. Число z называют разностью чисел z 2 и z 1 и обозначают z 2 -z 1 =z Коммутативность относительно умножения z 1 ּz 2 =z 2 ּz 1 Ассоциативность относительно умножения(z 1 ּz 2 )ּz 3 = z 1 ּ(z 2 ּz 3 ) Для z 1 0+0i, z 2 z: z 1 z=z 2. Число z называют частным чисел z 2 и z 1 и обозначают z=z 2 /z 1 Дистрибутивность z 1 ּ(z 2 +z 3 )= z 1 ּz 2 +z 1 ּz 3

Доказательство 3: Для z 1,z 2 z: z 1 +z=z 2. Число z называют разностью чисел z 2 и z 1 и обозначают z 2 -z 1 =z Пусть: тогда

Доказательство 6: Для z 1 0+0i, z 2 z: z 1 z=z 2. Число z называют частным чисел z 2 и z 1 и обозначают z=z 2 /z 1 Пусть: тогда

Решим систему по формулам Крамера: система имеет единственное решение: откуда:

Доказательство 7: Дистрибутивность z 1 ּ(z 2 +z 3 )= z 1 ּz 2 +z 1 ּz 3 Пусть: тогда

Сложение и умножение комплексных чисел подчиняется тем же законам, что и сложение и умножение действительных чисел! Пример.Пусть Найдем

Сопряженные числа Числа a+bi и a-bi называются сопряженными. (отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью) Обозначение: сопряженные

Чтобы разделить одно комплексное число на другое, надо числитель и знаменатель домножить на сопряженное знаменателю число Пример. Вычислить

Решение квадратных уравнений с D

ЗАДАНИЕ 1Дано Найти: Ответ:

ЗАДАНИЕ 2 Вычислить: Ответ:

ЗАДАНИЕ 3 По корням составить квадратное уравнение: Ответ:

ЗАДАНИЕ 4 Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: Ответ: