ХНУРЭ, кафедра ПО ЭВМ, Тел , Лекции Н.В. Белоус Факультет компьютерных наук Кафедра ПО ЭВМ, ХНУРЭ Компьютерная дискретная математика

Деревом называется связный неориентированный граф без циклов (ациклический), который содержит более двух вершин. Ациклический граф, который содержит несколько компонент связности (состоит из нескольких деревьев), называют лесом. 2

Корнем неориентированного дерева называют вершину с минимальным порядковым номером. Если в дереве T корень задан (то есть оно изображено сверху вниз, и в нем есть самая верхняя вершина), то дерево T называют корневым. В неориентированном дереве, как и в произвольном графе, пара вершин соединяется ребром. 3

Листьями Листьями неориентированного дерева (висячими вершинами) называются вершины, которым инцидентно лишь одно ребро. Узлом (внутренней вершиной) произвольного дерева называют вершину, которая не является корнем, и не является листом. 4

Маршрут в любом дереве называют ветвью В ориентированном дереве, как и в графе, ребра называют дугами. Корнем ориентированного дерева называют вершину, полустепень захода которой равна нулю. Листьями ориентированного дерева (висячими вершинами) называются вершины, полустепень захода которых равна единице, полустепень исхода равна нулю. 5

Для графа G(v,e) эквивалентны следующие утверждения: 1) G – дерево; 2) G – связный граф, |e|=|v|–1, где e – количество ребер, v– количество вершин графа G. 3) G – ациклический граф, |e|=|v|–1; 4) G – граф, в котором две вершины соединяются единственной цепью; 5) G – ациклический граф, и добавление нового ребра приводит к появлению точно одного цикла. 6

При описании соотношений между узлами дерева используется терминология, принятая в генеалогических деревьях. В дереве (или поддереве) все узлы являются потомками его корня, и наоборот, корень есть предок всех своих потомков. Если существует дуга, входящая из вершины А в вершину В, то А называется отцом вершины В, а В – сын А. Корень является отцом корней его поддеревьев, которые в свою очередь являются сыновьями корня. Вершины, являющиеся сыновьями одного отца называются братьями. 7

Поддеревом дерева Т называют дерево Т1, которое содержит часть вершин дерева Т, причем корнем дерева Т1 может быть любая другая вершина дерева Т. 8

Корневое дерево называется n-арным, если каждая внутренняя вершина имеет не более n детей. Порядком дерева называется максимальное количество потомков вершин данного дерева. Корневое дерево называется полным n-арным деревом, если каждая внутренняя вершина имеет ровно n детей. Корневое дерево называется бинарным деревом, если каждая внутренняя вершина имеет не более двух детей (n = 2). 9

Уровнем вершины v i в корневом дереве называется длина пути от корня дерева до данной вершины. Корень имеет уровень, равный нулю. Высотой h корневого дерева T называется величина, равная максимальному из уровней вершин. Глубина (количество уровней) d дерева T равняется количеству вершин, которые лежат на максимальной ветви от корня к листьям. hB=hB= hC=hC= hD=hD= hE=hE= hF=hF= hG=hG= hH=hH= hI=hI= hJ=hJ= hK=hK= h= d=

Пусть для некоторого множества М городов известна стоимость с(a, b) постройки дороги между любыми двумя городами a, b M. Какова должна быть сеть дорог между городами, входящими в М, чтобы по ней можно было проехать из любого города a M в любой город b M и чтобы стоимость этой сети была минимальной? Теорема На n вершинах можно построить n n-2 деревьев. Пример n=4 n n-2 = 4 2 =

Остовное дерево – дерево, которое содержит все вершины исходного графа. Хорда остовного дерева Н графа G – это ребро графа G, не принадлежащее остовному дереву Н. НG 12

Граф G с весами на дугах называется взвешенным графом. Весом подграфа из G называется сумма весов ребер подграфа. 13

1. Упорядочиваем ребра в порядке возрастания их весов. 2. Включаем в остовное дерево, ребра в порядке их возрастания. 3. Если вновь включенное ребро образует цикл с ребрами, включенными до него, то пропускаем его. 4. Дерево построено тогда, когда в него включено n-1 ребро. 14

Построить дерево минимальной стоимости для заданного графа G. Находим ребра с наименьшей мерой. Поочередно включаем их в остовное дерево. СЕ= 4 АВ= 6 АС= 7 АD = 8 S Н = =25. 15

1) Вводится последовательность N p = (1, 2,..., р), где p – количество вершин графа. 2) Выбирается висячая вершина с наименьшим номером, эта вершина удаляется из последовательности N p =(1,2,...,р), а номер связанной с ней вершины записывается. 3) Затем этот процесс повторяется до тех пор, пока не получим последовательность а(Т)=(a 1,а 2,...,а р-2 ). 16

1) Находим общее количество вершин (количество вершин в коде дерева + 2); 2) Находим висячие вершины (т.е. которые не входят в код); 3) Находим висячую вершину с минимальным номером и соединяем ее с первой неиспользованной вершиной в коде. Если выбранная вершина не встреча ется далее в последовательности кода, записываем ее вершину в последовательности листьев; 4) Повторяем пункт 3), до использования всех листьев; 5) Последнюю вершину кода соединяем с листом с максимальным номером. 18

Дан код: 1, 1, 1, 5. Необходимо построить дерево. Решение. 1. Общее количество вершин: 2. Находим висячие вершины: =6. 2, 3, 4, 6 Висячие вершины: Код дерева:

Бинарным (двоичным) деревом Т называется упорядоченное дерево, из каждой вершины которого может исходить не более двух дуг

Каждая вершина бинарного дерева может иметь либо двух сыновей – левого и правого, либо иметь только левого сына, либо только правого сына, либо не иметь ни одного сына. Поддерево, корень которого является левым сыном вершины v, называется левым поддеревом вершины v. Поддерево, корень которого является правым сыном вершины v, называется правым поддеревом вершины v. 22

1. «в глубину »1. «в ширину» 2. лексикографический 3. внутренний снизу вверх Прямой Обратный (симметричный) Концевой 1. посетить корень 2. левое поддерево 3. правое поддерево 1. левое поддерево 2. посетить корень 3. правое поддерево 1. левое поддерево 2. правое поддерево 3. посетить корень ПрефикснаяИнфикснаяПостфиксная Синонимические названия Форма задания Порядок обхода 23

+ * ln

1.Построим концевые вершины, соответствующие переменным и константам заданного выражения. 2.Определим приоритет операций в выражении. 3.В соответствии с приоритетом операций добавляем в дерево вершины, соответствующие операциям и соединяем их с концевыми вершинами. - * ln + / 5*8 х1 хх 28

Два бинарных дерева называются подобными, если они имеют одинаковую структуру, то есть либо они пусты, либо содержат одинаковое число поддеревьев и их левое и правое поддеревья подобны. 29

Бинарные деревья эквивалентны, если они подобны и соответствующие узлы содержат одну и ту же информацию. 30