Алгебра. Степень с натуральным показателем. Решение квадратных уравнений и неравенств. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Справочник

Математика довольно интересная наука. Она дает нам средство для решения, казалось бы, настолько абстрактных задач, что представить их физическое решение затруднительно. Чего стоит кубический корень из яблока или мнимая единица, которая похожа на суслика из анекдота! Однако если благодаря этим комплексным числам мы можем летать на самолетах, то они стоят того, чтобы ломать над ними голову

Цели и задачи создания справочника: систематизировать материал по основным математическим понятиям и формулам школьного курса алгебры; создать учащимся условия для беспроблемного решения многих математических задач при выполнении домашних заданий, при подготовке к контрольным и самостоятельным работам, к ЕГЭ; способствовать развитию познавательной активности учащихся через знакомство с формулами, облегчающими процесс решения задачи; способствовать развитию математических способностей одарённых учащихся через знакомство с формулами, не входящими в школьную программу по математике.

В какой-то момент перед детьми встает проблема огромного количества теорем и формул. Они представлены для каждого отдельного случая, позволяя считать быстрее и удобнее. Но их становится настолько много, что человеческий мозг просто не может удержать внимание на них всех, и они забываются. Особенно сложно держать формулы в голове учащимся с гуманитарным складом ума Поэтому было решено создать математические справочники, причем не только как подсказки в решении определённых задач, но и как средство для самоподготовки к ЕГЭ в 11 классе и ГИА в 9 классе. Предлагаем вам ознакомиться со следующими страницами этого справочника: "У математиков существует свой особый язык - это язык формул" С. В. Ковалевская

n множителей a 1 = a Степень с натуральным показателем а n - степень с натуральным показателем; а – основание степени; n – показатель степени. a 0 = 1

Таблица степеней

1 1. а 1 = а; 2 2. a n = a·a·a·a·…….·a; n раз n = 1; n = 0; 6 6. (-1) 2n = 1; (-1) 2n-1 = -1; n = 100……0; n раз 9 9. a m · a n = a m+n ; a m : а n = a m-n, где m n; (а n ) k = a nk ; a n b n = (ab) n ; 13., где b0. Свойства степеней а 0 = 1, где а 0;

Формулы сокращённого умножения a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b +3ab 2 – b 3 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b +3ab 2 + b 3 a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) (а + b + с) 2 = а 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Свойства неравенств

Квадратные корни

Модуль числа - а а 0 а 0 х х

Квадратные уравнения

Классификация квадратных уравнений Квадратное уравнение ах 2 + bх + с =0, а0, b,с-любые числа, х- переменная неполное b = 0; a x 2 + c = 0 c = 0; a x 2 + b x = 0 b = 0; c = 0; a x 2 = 0

Решение неполных квадратных уравнений Если числа а и с одного знака, то уравнение имеет корни, если разных знаков, то уравнение не имеет корней

дискриминант – «различитель» полное квадратное уравнение

Количество корней квадратногоуравнения D>0 2 корня D

чётное квадратное уравнение, если

- приведённое квадратное уравнение а = 1, р – второй коэффициент, р – второй коэффициент, q – свободный член.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену Теорема Виета: х 2 + рх + q= 0, х 1 +х 2 =-р, х 1х 2 =q. Теорема обратная теореме Виета: Если х 1 +х 2 =-р, и х 1х 2 =q, то х 1, х 2 - корни уравнения х 2 + рх + q= 0 Если p, q, x 1, x 2 таковы, что х 1 +х 2 = - p, х 1 ·х 2 = q, то х 1, х 2 -корни уравнения х 2 + рх + q= 0

Если х 1, х 2 – корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0, то при всех х справедливо равенство ах 2 + bх + c= а(х-х 1 )·(х-х 2 ) Если х 1, х 2 -корни уравнения а х 2 + bх + c= 0, то ах 2 + bх + c= а(х-х 1 )·(х-х 2 ) Разложение квадратного трёхчлена на множители трёхчлена на множители

Квадратичная функция у = ах 2 +bх+с, а 0 у = ах 2 + bх + с = а(х - х 0 ) 2 +у 0 у у х х х0х0 х0х0 у0у0 у0у0 a > 0 a < 0 у 0 =у(х 0 )- наименьшее значение функции у 0 =у(х 0 )- наибольшее значение функции

Схема построения графика квадратичной функции у = ax 2 +bx+c 1.Построить вершину параболы (х 0,у 0 ): 2.Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат,- ось симметрии параболы. 3.Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы. 4.Построить две какие-нибудь точки параболы, симметричные её оси. параболы, симметричные её оси. 5. Провести через построенные точки параболу.

Квадратные неравенства а>0 1)ах 2 +bх+с 0, х 1 х 0 х 2 у у х х a > 0 a < 0 2)ах 2 +bх+с > 0, х х 2 а < 0 1)ах 2 +bх+с 0, х х 1, х х 2 2)ах 2 +bх+с > 0, х 1 < х < х 2 х1х1 х2х2 х1х1 х2х2

Решение квадратного неравенства с помощью графика 1.Определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента квадратичной функции. 2.Найти корни соответствующего квадратного уравнения или установить, что их нет. 3.Построить эскиз графика квадратичной функции, используя точки пересечения (или касания) с осью Ох, если они есть. 4.По графику определить промежутки, на которых функция принимает нужные значения.

Метод интервалов (для решения квадратного неравенства) [ах²+вх+с0] ах²+вх+с>0 [ах²+вх+с0] [ах²+вх+с0] ах²+вх+с0 [а(х – х 1 )(х – х 2 )0] [а(х – х 1 )(х – х 2 )0] а(х – х 1 )(х – х 2 )

Арифметическая прогрессия Числовая последовательность а 1,а 2,….а n,…. -арифметическая прогрессия, если для всех натуральных n выполняется равенство, где d – некоторое число а n+1 = a n +d, где d – некоторое число -определение арифметической прогрессии -разность арифметической прогрессии формула n-го члена арифметической прогрессии прогрессии -сумма n первых членов арифметической прогрессии

Геометрическая прогрессия Числовая последовательность b 1,b 2,….b n,…. -геометрическая прогрессия, если для всех натуральных n выполняется равенство, -геометрическая прогрессия, если для всех натуральных n выполняется равенство b n+1 = b n ·q, где b n 0, q – число не равное 0 -определение геометрической прогрессии формула n-го члена геометрической прогрессии прогрессии сумма n первых членовгеометрической прогрессии прогрессии -знаменатель геометрической прогрессии где q 1

Алимов Ш.А. Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, Бурмистрова Т.А. Алгебра классы. Программы общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, Стандарт основного общего образования по математике//«Вестник образования» с Электронные учебные пособия – Интерактивная математика. Электронное учебное пособие для основной школы. М., ООО «Дрофа», ООО «ДОС»,2002. – Математика. Практикум классы. Электронное учебное издание. М., ООО «Дрофа», ООО «ДОС», Литература: