Решение неравенств. Учитель математики МБОУ « СОШ 59» с углубленным изучением отдельных предметов г. Чебоксары Максимова Л. А.

Система подготовки к экзамену по математике в 9 классе заключается не только в изучении текущего материала, но и в организации сопутствующего повторения. Навыки решения неравенств необходимы ученикам, желающим подготовиться для успешной сдачи ГИА. Наряду с основной задачей обучения математике эта подготовка предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявления математических способностей, ориентацию на профессии, связанные существенным образом с математикой.

Линейные неравенства Напомним, что линейным неравенством с одной переменной х называют неравенство вида ах +b>0 (ax+b

Правила преобразования неравенств Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не изменится. Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже положительное число, знак неравенства не изменится. Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный.

Решение линейных неравенств. Пример 1. Решить неравенство : Решение. Умножим обе части неравенства на положительное число 15, оставив знак неравенства без изменения ( правило 1). Это позволит освободиться от знаменателей и перейти к равносильному неравенству.

Согласно правилу 3, получим : х Ответ : (-; )

Пример 2. Решить неравенство : Решение. Упростим неравенство : раскроем скобки в левой части неравенства. Приведя подобные слагаемые придем к неравенству : 2x 4,5. Согласно правилу 2, знак неравенства не изменится ( обе части неравенства делим на положительное число 2), получим : x 2, 25. 2,25 х Ответ : [2.25; +)

Квадратные неравенства Квадратным неравенством называется неравенство вида где a 0, вместо знака >, может быть,,

a > 0 D< 0 y xo a < 0 D < 0 y xo ax²+bx+c > 0 Ответ: (-;+ ) Ответ: нет решения

a > 0 D< 0 y xo a < 0 D < 0 y xo ax²+bx+c < 0 Ответ: (-;+ ) Ответ: нет решения

a > 0 D> 0 y xo a < 0 D > 0 y x o ax²+bx+c 0 Ответ: [x ;x ] Ответ: (-; x ] U [x ;+) x 1 x x 12 x

Пример 1. Решить неравенство : Решение. Найдем дискриминант квадратного трехчлена. Имеем : D=(-1) 2 -4*3*4=-470, D 0 Значит, неравенство 4x 2 -x+2>0 выполняется при любом x. Решением является 0 x вся числовая прямая. Ответ : (-;+)

Пример 2. Решить неравенство : Найдем корни квадратного трехчлена. Для этого решим квадратное уравнение 3x 2 -10x+3=0 D=(-10) 2 -4*3*3=64>0 x 1 = ; x 2 =3 y Отметим на числовой прямой корни квадратного трехчлена. Парабола, служащая графиком a>0 ф ункции y=3x 2 -10x+3 пересекает о сь ОХ в точках и. Ветви параболы н аправлены вверх (a=3, a>0) 0 x Ответ : [ ; 3]

Пример 3. Найдите наибольшее целое решение неравенства : -2 x 2 +3x+9>0. Решение. 1. Найдем корни квадратного трехчлена -2 x 2 +3x+9. Для этого решим уравнение 2 x 2 - 3x - 9 = 0 D=(-3) 2 +4*2*9=9+72=81>0 Квадратный трехчлен имеет два различных корня : X 1 =-1,5; X 2 =3 y 2. Парабола служащая графиком y= -2 x 2 +3x+9, пересекает ось Ох. в точках -1,5 и 3. -1,5 2 3 x Решением неравенства является промежуток (-1,5; 3). Но нас интересует наибольшее целое число из этого промежутка, это число 2. Ответ : 2.

Тренировочные упражнения 1. Решите неравенство: а ) Ответ : x є (-; ) б ) Ответ : х є (-; +) 2. Найдите наибольшее целое решение неравенства: Ответ : x=0

3. Найдите область определения выражения f(x): а ) Ответ : (-; 2 ] U [ 1;+ ) б ) Ответ : (-3; ) в ) Ответ : (-; ) U (2; +) 4. Сколько целочисленных решений имеет неравенство : Ответ : 7

5. При каких значениях x трехчлен принимает неотрицательные значения. Ответ : x є [ - 1 ; 1,5 ].