Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На отрезке [9;6] функция имеет две точки максимума x = 4 и x = 4. Ответ: 2.

Решение. Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). В них содержатся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек. Ответ: 5.

Решение. Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (9; 6) длиной 3 и интервалу (2; 3) длиной 5. Длина наибольшего из них равна 5. Ответ: 5.

Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [6; 9] функция имеет одну точку максимума x = 7. Ответ: 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (7; 5), (2; 5). Наибольший из них интервал (2; 5), длина которого 3.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [3; 8]. Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [3; 8] функция имеет одну точку минимума x = 4. Ответ: 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [14; 2]. Решение. Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках 13, 11, 9, 7. На отрезке [14; 2] функция имеет 4 точки экстремума. Ответ: 4.

Решение. Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна = 44. Ответ: 44.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 2), B (2; 0), C (6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x = 3. Для решения используем геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси х (tg α). Угол α = β, как накрест лежащие углы при параллельных прямых y=0, y=1 и секущей-касательной. Для треугольника ABC

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x о. Найдите значение производной функции f(x) в точке x о. По свойствам касательной, формула касательной к функции f(x) в точке x 0 равна y=f (x 0 ) x+b, b=const По рисунку видно, что касательная к функции f(x) в точке x 0 проходит через точки (-3;2), (5,4). Следовательно, можно составить систему уравнений

Источники