РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РАССУЖДЕНИЙ Урок :44

Решение задач Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач: средствами алгебры логики; табличный; с помощью рассуждений. Познакомимся с ними поочередно.

:44 I. Решение логических задач средствами алгебры логики Обычно используется следующая схема решения: 1.изучается условие задачи; 2.вводится система обозначений для логических высказываний; 3.конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи; 4.определяются значения истинности этой логической формулы; 5.из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

:44 Пример 1. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок. Вот увидишь, Шумахер не придет первым, сказал Джон. Первым будет Хилл. Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, воскликнул Ник. А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым. Питер, к которому обратился Ник, возмутился: Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину. По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

:44 Решение. Введем обозначения для логических высказываний: Ш победит Шумахер; Х победит Хилл; А победит Алези. Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается. Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

:44 Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание Высказывание истинно только при Ш=1, А=0, Х=0. Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер.

:44 II. Решение логических задач табличным способом При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц. Пример 2. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что: 1.Смит самый высокий; 2.играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; 3.играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; 4.когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их; 5.Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое. На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

:44 Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание. Так как музыкантов трoе, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют. Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Брауна альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" заполним нулями:

:44 скрипкафлейтаальткларнетгобойтруба Браун Смит 00 0 Вессон 00

:44 Из таблицы видно, что на трубе может играть только Вессон. Из условий 1 и 2 следует, что Смит не скрипач. Так как на скрипке не играет ни Браун, ни Смит, то скрипачом является Вессон. Оба инструмента, на которых играет Вессон, теперь определены, поэтому остальные клетки строки "Вессон" можно заполнить нулями: скрипкафлейтаальткларнетгобойтруба Браун Смит Вессон Ответ: Браун играет на альте и кларнете, Смит на флейте и гобое, Вессон на скрипке и трубе.

:44 Пример 3. Три одноклассника Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

:44 ИмяЮра Профессия врач Увлечение туризм Решение. Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя профессия увлечение). Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он турист. Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно врач Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", следовательно второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени Юра. Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы "ю" и "р".

:44 ИмяЮраТимурВлад Профессияфизикврачюрист Увлечениебегтуризмрегби Следовательно, окончательно имеем: Ответ. Влад юрист и регбист, Тимур врач и турист, Юра физик и бегун.

:44 Пример 4. Три дочери писательницы Дорис Кей Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что: 1.Джуди живет не в Париже, а Линда не в Риме; 2.парижанка не снимается в кино; 3.та, кто живет в Риме, певица; 4.Линда равнодушна к балету. Где живет Айрис, и какова ее профессия?

:44 ПарижРимЧикаго ПениеБалетКино 0 Джуди Айрис 0 Линда 0 Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия 1 и 4, заполнив клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание: Далее рассуждаем следующим образом. Так как Линда живет не в Риме, то, согласно условию 3, она не певица. В клетку, соответствующую строке "Линда" и столбцу "Пение", ставим 0. Из таблицы сразу видно, что Линда киноактриса, а Джуди и Айрис не снимаются в кино.

:44 ПарижРимЧикаго ПениеБалетКино 001Джуди Айрис Линда001 Согласно условию 2, парижанка не снимается в кино, следовательно, Линда живет не в Париже. Но она живет и не в Риме. Следовательно, Линда живет в Чикаго. Так как Линда и Джуди живут не в Париже, там живет Айрис. Джуди живет в Риме и, согласно условию 3, является певицей. А так как Линда киноактриса, то Айрис балерина. В результате постепенного заполнения получаем следующую таблицу: Ответ. Айрис балерина. Она живет в Париже.

:44 III. Решение логических задач с помощью рассуждений Этим способом обычно решают несложные логические задачи. Пример 5. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

:44 Решение. Имеется три утверждения: 1.Вадим изучает китайский; 2.Сергей не изучает китайский; 3.Михаил не изучает арабский. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей. Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил японский, Вадим арабский.

:44 Пример 6. В поездке пятеро друзей Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение: Дима сказал: "Моя фамилия Молотов, а фамилия Бориса Хрущев". Антон сказал: "Молотов это моя фамилия, а фамилия Вадима Брежнев". Борис сказал: "Фамилия Вадима Тихонов, а моя фамилия Молотов". Вадим сказал: "Моя фамилия Брежнев, а фамилия Гриши Чехов". Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона Тихонов". Какую фамилию носит каждый из друзей? Решение. Обозначим высказывательную форму "юноша по имени А носит фамилию Б" как А Б, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии. Зафиксируем высказывания каждого из друзей: 1.Д М и Б Х ; 2.А М и В Б ; 3.В Т и Б М ; 4.В Б и Г Ч ; 5.Г Ч и А Т. Допустим сначала, что истинно Д М. Но, если истинно Д М, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит А М и Б М ложно. Но если А М и Б М ложны, то должны быть истинны В Б и В Т, но В Б и В Т одновременно истинными быть не могут. Значит остается другой случай: истинно Б Х. Этот случай приводит к цепочке умозаключений: Б Х истинно ® Б М ложно ® В Т истинно ® А Т ложно ® Г Ч истинно ® В Б ложно ® А М истинно. Ответ: Борис Хрущев, Вадим Тихонов, Гриша Чехов, Антон Молотов, Дима Брежнев.

:44 Пример 7. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы: Россия "Проект не наш, проект не США"; США "Проект не России, проект Китая"; Китай "Проект не наш, проект России". Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз неправду. Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры. Решение. Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов: Россия "Проект не наш" (1), "Проект не США" (2); США "Проект не России" (3), "Проект Китая" (4); Китай "Проект не наш" (5), "Проект России" (6). Узнаем, кто из министров самый откровенный. Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию. Если самый откровенный министр США, то тогда вновь получаем, что победил китайский проект, значит оба утверждения российского министра тоже верны, чего не может быть по условию. Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что (5) и (6) справедливы, cледует, что победил российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно. Оба же утверждения министра США неверны. Ответ: Откровеннее был китайский министр, осторожнее российский, скрытнее министр США.

:44 Домашнее задание 23. Три девочки Роза, Маргарита и Анюта представили на конкурс цветоводов корзины выращенных ими роз, маргариток и анютиных глазок. Девочка, вырастившая маргаритки, обратила внимание Розы на то, что ни у одной из девочек имя не совпадает с названием любимых цветов. Какие цветы вырастила каждая из девочек? 24. Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии. Первый из опрошенных свидетелей сказал работникам ГАИ, что это были Жигули, первая цифра номера машины единица. Второй свидетель сказал, что машина была марки Москвич, а номер начинался с семёрки. Третий свидетель заявил, что машина была иностранная, номер начинался не с единицы. При дальнейшем расследовании выяснилось, что каждый из свидетелей правильно указал либо только марку машины, либо только первую цифру номера. Какой марки была машина и с какой цифры начинался номер?