Виды и способы решения иррациональных уравнений Автор Ахметзянова Кристина, ученица 10б класса СОШ 12 г. Усть-Илимска

Источником алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность задачи… Готфрид ЛейбницИсточником алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность задачи… Готфрид Лейбниц

Целью исследования является изучение иррациональных уравнений и методов их решения. Задачи – выбрать соответствующую литературу, исследовать способы решения иррациональных уравнений, классифицировать практический материал

Объектом исследования Объектом исследования являются, иррациональны уравнения их виды и способы решения. Методы исследования: Методы исследования: анализ и классификация практического материала; наблюдение и сравнение различных способов решения одного и того же вида уравнений. Гипотеза: Гипотеза: существуют различные способы решения уравнений одного и того же вида.

Историческая справка ratio логос алогос Термин рациональное (число) происходит от латиноамериканского слова ratio – отношение, которое является переводом греческого словалогосв отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески алогос)

Историческая справка Началах В своих Началах Евклид излагает учение об иррациональностях чисто геометрически. алогос surdus Греки называли иррациональную величинуалогос – невыразимое словами, а позже европейские переводчики с арабского на латынь перевели это слово латинским словом surdus – глухой.

Иррациональные уравнения Основными методами решения иррациональных уравнений являются следующие: а) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; b) метод введения новых переменных. Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить, пользуясь следующим правилом:

Иррациональные уравнения стандартного вида x 2 – = 0 х= 11 ; х=6 (1) (2) (1) (2) х 8 Ответ: х=11 Пример 2.Пример 1. Проверка 2 = 2 Ответ: х=3; х = - 3

Иррациональные уравнения смешанного вида Иррациональность четной степени ОДЗ x+50 x-5 5-х0 ; х5; х є х+5+2 (х+5)(5-х) +5-х= х 2 =6 : х =0 Ответ: x = –4 и x = 4 [-5;5] х+5 + 5– х =4 Иррациональные уравнения с модулем х-7 0;х7 значит 5х-7>0 Уравнение примет вид 5х -34 0, х-70, 5х -34 = х 2 -14х +49 ; Ответ:

Введение новой переменной Откуда имеем x = –3, x = 0. Согласно проверке, корнями исходного уравнения являются найденные значения x = –3, x =0. Ответ: –3; 0. t = 1

Уравнение, содержащее двойную иррациональность 1) 0 t 1 2) t > 1 t + 1 – t + 1 = 2 t t -1 = 2 2=2 2t = 2 Решением является весь интервал. t = 1 не принадлежит интервалу 0 t x x 2 Ответ:

Исследование способов решения уравнения 1 нестандартным методом, используя монотонность функции и обе функции возрастающие учитывая, что подбором легко найти, что х = 5 Ответ: 5 стандартным способом х + 11 = х – 1 + х – 1, 12х – 1 = 24 х – 1 = 2 х – 1 = 4; х = 5 Ответ: 5

Исследование способов решения уравнения 2 Иррациональность нечетной степени по условию поэтому Ответ: –7; 2.

Исследование способов решения уравнения 2 Решим это же уравнение способом замены: x - 1= t; x =t + 7 Ответ:-7;2 - t + 7 – t – 3 3 t 2 + 7t = t 2 + 7t = t 2 + 7t = 2 t 2 + 7t – 8 = 0 t 1 = - 8 t 2 = 1 x – 1 = - 8 x – 1 = 1 x = - 7; x = 2

Список литературы 1. Интернет - ресурсы: А.С. Солодовников, А.В Браилов Сборник задач по курсу математики; ФА 2001г 3. А.И. Макушевич. Детская энциклопедия – Москва: Издательство «Педагогика», А.П.Савин. Энциклопедический словарь юного математика – Москва: Издательство «Педагогика», В.Н. Шандер «Уравнения и неравенства». Издательство МГУ. Москва, 2002г. 6. Д.Т. Письменский Математика для старшеклассников. Издательство Айрис. Москва 1996 г. Издательство «Мнемозина», Л.О. Денищева Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. – М.: Дрофа, М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике - Москва: Издательство «Наука», М.И. Сканави Сборник задач по математике; М: 1999г 10. Н.Я. Виленкин Алгебра для 9 класс. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – Москва: Издательство «Просвещение», О.Ю. Черкасов Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. – М.: АСТ-ПРЕСС, 2001.

Спасибо за внимание!