Способы решения Решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство. сложение подстановка графический способ

Пример : 2x-3y=3, 4x+3y=18. Способ сложения основан на следующем утверждении: любое уравнение системы можно заменить уравнением,полученным путем сложения( или вычитания)левых и правых частей уравнений, входящих в систему; при этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

Чтобы найти решение системы нужно сложить левые и правые части уравнения.(При этом мы пользуемся свойством числовых равенств: если a=b и c=d,то a+c=b+d).Так как коэффициенты при переменной y – противоположные числа, то при сложении y исчезнет и получится уравнение с одной переменной x: 2x -3y=3, 4x+3y=18, 6x=21. Из полученного уравнения найдем X: 6x=21, X= 21/6 =7/2. Подставив это число вместо x в любое из уравнений системы, например, в уравнение 2x-3y =3,найдем y: 2*7/2-3y=3, отсюда y=4/3. X=3,5; y=4/3 – это координаты точек пересечения прямых 2x- 3y=3 и 4x+3y=18

При решении систем уравнений способом подстановки поступают следующим образом: выражают из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую и подставляют полученное выражение во второе уравнение системы. В результате, как и при способе сложения, удается исключить одну из переменных. Пример : Пример : Y-2x=-1, 3y-5x=2. Y-2x=-1, 3y-5x=2.

Y-2x=-1, 3y-5x=2. Y-2x=-1, 3y-5x=2. Из первого уравнения этой системы легко выразить y через x: y=2x-1. Из первого уравнения этой системы легко выразить y через x: y=2x-1. Подставим во второе уравнение системы вместо y выражение 2x-1. Получим систему уравнений: Подставим во второе уравнение системы вместо y выражение 2x-1. Получим систему уравнений: Y=2x-1, 3*(2x-1)-5x=2. Y=2x-1, 3*(2x-1)-5x=2. Теперь второе уравнение системы содержит только одну переменную. Решим его: Теперь второе уравнение системы содержит только одну переменную. Решим его: 6x-3-5x=2, X=5. 6x-3-5x=2, X=5. Подставив в уравнение y=2x-1 вместо x число 5, найдем y: Подставив в уравнение y=2x-1 вместо x число 5, найдем y: Y=2*5-1, Y=9. Y=2*5-1, Y=9. Таким образом, решением системы является пара чисел: x=5, y=9. Таким образом, решением системы является пара чисел: x=5, y=9.

Для того, чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными, можно использовать графики уравнений. Для того, чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными, можно использовать графики уравнений. Пусть требуется решить систему уравнений: 2x+3y=5, 3x-y=-9. 2x+3y=5, 3x-y=-9.

Построим в координатной плоскости графики уравнения системы. Графиком первого уравнения является прямая АВ, а графиком второго прямая CD. Построим в координатной плоскости графики уравнения системы. Графиком первого уравнения является прямая АВ, а графиком второго прямая CD. Координаты любой точки прямой АВ являются решением уравнения 2x+3y=5, а координаты любой точки прямой CD являются решением уравнения 3x-y=-9. координаты точки пересечения прямых удовлетворяют как первому уравнению, так и второму, т. е. являются решением системы. Графики пересекаются в точке К (-2; 3). Значит, система имеет единственное решение: x=-2, y=3. Координаты любой точки прямой АВ являются решением уравнения 2x+3y=5, а координаты любой точки прямой CD являются решением уравнения 3x-y=-9. координаты точки пересечения прямых удовлетворяют как первому уравнению, так и второму, т. е. являются решением системы. Графики пересекаются в точке К (-2; 3). Значит, система имеет единственное решение: x=-2, y=3.

X+3y=18, 2x-3y=3. X+3y=18, 2x-3y=3.

1 способ: сложение x+y=4, 2x-y=2. x+y=4, 2x-y=2. Так как коэффициенты при переменной y – противоположные числа, то при сложении y исчезнет и получится уравнение с одной переменной x: Отсюда x=2. Подставим это число вместо x в первое уравнение системы и найдем y: 2+y=4, Y=2. 2+y=4, Y=2. x+y=4, 2x-y=2, x+y=4, 2x-y=2, 3x=6. Ответ:x=2, y=2.

2 способ: подстановка 2 способ: подстановка x+y=4, 2x-y=2. x+y=4, 2x-y=2. Из первого уравнения этой системы легко выразить y через x: y=4-x Из первого уравнения этой системы легко выразить y через x: y=4-x Подставим во второе уравнение системы вместо y выражение Получим систему уравнений: Подставим во второе уравнение системы вместо y выражение Получим систему уравнений: 4-x 4-x Y=4-x,2x-4+x=2. Y=4-x, 2x-4+x=2. Теперь второе уравнение системы содержит только одну переменную. Решим его: Теперь второе уравнение системы содержит только одну переменную. Решим его: 3x=6, X=2. 3x=6, X=2. Подставив в уравнение x+y=4 вместо x число 2, найдем y: Подставив в уравнение x+y=4 вместо x число 2, найдем y: 2+y=4, Y=2. 2+y=4, Y=2. Таким образом, решением системы является пара чисел: x=2, y=2. Таким образом, решением системы является пара чисел: x=2, y=2.

3 способ: графический 3 способ: графический x+y=4, 2x-y=2. x+y=4, 2x-y=2. Построим в координатной плоскости графики уравнения системы. Графиком первого уравнения является прямая АВ, а графиком второго прямая CD. Построим в координатной плоскости графики уравнения системы. Графиком первого уравнения является прямая АВ, а графиком второго прямая CD. Координаты любой точки прямой АВ являются решением уравнения x+y=4, а координаты любой точки прямой CD являются решением уравнения 2x-y=2. Координаты точки пересечения прямых удовлетворяют как первому уравнению, так и второму, т. е. являются решением системы. Графики пересекаются в точке К (2; 2). Значит, система имеет единственное решение: x=2, y=2. Координаты любой точки прямой АВ являются решением уравнения x+y=4, а координаты любой точки прямой CD являются решением уравнения 2x-y=2. Координаты точки пересечения прямых удовлетворяют как первому уравнению, так и второму, т. е. являются решением системы. Графики пересекаются в точке К (2; 2). Значит, система имеет единственное решение: x=2, y=2.