Правила дифференцирования Таблица производных элементарных функций Производные высших порядков

Правила дифференцирования ТЕОРЕМА 1. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Если функции f и g дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы f + g, f g, f /g (если g(x) 0) и при этом Пусть у = f g. 1) (f(х) + g(х))' = f '(х) + g '(х); 2) (f(х) g(х))' = f '(х)g(x) + f(x)g '(х); Доказательство. Приведем доказательство свойства 2. f = f (х + х) – f(x) f (х + х) = f(x) + f ; g = g (х + х) – g(x) g(х + х)= g(x)+ g. g '(х) f '(х) 0 при х 0 ( В силу непр. диф-мой функции.)

ТЕОРЕМА 2. Дифференцирование сложной функции Пусть функция у = f(u) дифференцируема в точке u 0, у 0 = f(u 0 ), а функция u = (x) дифференцируема в точке x 0, u 0 = ( x 0 ). Тогда сложная функция у = f ( (x)) дифференцируема в точке x 0 и f ' ( ( x 0 )) = f ' (u 0 )· ' ( x 0 ) или ЗАМЕЧАНИЕ. Правило вычисления производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например: (f ( (g(x))))' = f '( (g(x))) '(g(x)) g'(x). Следствие. Если f (х) дифференцируема в точке х и С = const, то (С f(x))' = С f '(x); (f(x)/С)' = f '(x)/С.

Пример 1. y = cosx, х R. (cosx) = (sin( /2 – x)) = cos( /2 – x)·( /2 – x) = – sinx. y = tgx, х /2 + k, k Z. Используя теоремы 1 и 2, найдем производные тригонометрических функций y = ctgx, х + k, k Z.

ТЕОРЕМА 3. Дифференцирование обратной функции. Если у = f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезке [x 0 -, x 0 + ] и имеет производную f '(x 0 ), тогда обратная к ней функция x = g(y) дифференцируема в точке у 0 = f(x 0 ), причем g '(y 0 ) = 1/ f '(x 0 ). x0x0 x 0 - x 0 + у0у0 x y x у у = f(x) x = g(y) Пусть у таково, что у 0 + у (, ). Обозначим х = g(y 0 + у) – g(y 0 ). Нужно доказать, что существует 0 Доказательство. Пусть f(x) строго возрастает на [x 0 -, x 0 + ].Пусть = f(x 0 - ), = f(x 0 + ). Тогда на [, ] определена обратная функция x = g(y), непрерывная и строго возрастающая, причем f(x 0 ) (, ). Если у 0, то и х 0, в силу строгой монотонности функции. Поэтому имеем право записать тождество Если у, то и х, так как x = g(y) непрерывна в точке у 0.

Пример 2. Найдем производные обратных тригонометрических функций

Таблица производных элементарных функций 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x )´ = x -1, R, x > 0; (x n )´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x )´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x )´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, х π/2 + πn, n ; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, х πn, n ; 9)10) 11)12)

Логарифмическое дифференцирование u(x), v(x) – дифференцируемые в точке х функции. Пример 3. Пример 4.

Производная n-ого порядка ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть f(x) определена в U (x 0 ) и имеет производную f (x) в каждой точке этого интервала. Если в точке х 0 существует производная от f (x), то она называется второй производной от функции f(x) в этой точке и обозначается Аналогично определяется производная f (n) (x) любого порядка n =1, 2, … Если в U (x 0 ) существует f (n-1) (x) (при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция), то n = 1, 2, 3, …. Функцию, имеющую в каждой точке множества Х производные до n-ого порядка включительно, называют n раз дифференцируемой на множестве Х.

Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х производные n-ого порядка. Тогда функция Аf(x) + Вg(x), где А и В постоянные, также имеет производную в точке х, причем (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) (x) + Вg (n) (x). При вычислении производных любого порядка часто используют следующие основные формулы. y = x ; y (n) = ( -1)… ( - (n-1)) x - n. y = x -1, y = ( -1)x -2, y = ( -1)( -2) x -3 … В частности, если = m N, то y = a x ; y (n) = a x (lna) n. y =a x lna, y = a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, … В частности (е x ) (n) = е х. y ' = ((x + a) - 1 )' = - (x+a) - 2, y '' = 2 (x + a) - 3,y ''' = (x + a) - 4, …

y = ln(x+а); y (n) = (–1) n–1 (n–1)!(x+а) –n. y = (x +а) –1, y = – (x +а) –2, y = 2(x +а) –3, y (4) = – 2·3(x +а) – 4, … y = sin αx; y (n) = α n sin(αx+n· /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2· /2), y = α 3 cos(αx + 2· /2) = α 3 sin(αx+3· /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n· /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2· /2), y = – α 3 sin(αx+2· /2) = α 3 cos(αx + 3· /2),...

n-ая производная произведения двух функций (формула Лейбница) где Эта формула называется формулой Лейбница. Она может быть записана в виде где Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х производные n-ого порядка. По индукции можно доказать, что (f(x) g(x)) (n) = ?

Треугольник Паскаля n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5

Пример 5. y = (x 2 +3x+5) sin x, y (13) = ? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2 +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 ( - cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. Применим формулу Лейбница, положив в ней f(x) = sin x, g(x) = (x 2 +3x+5). Тогда

Спасибо за внимание!