Геометрия 9 класс Многоугольники

Содержание Правильные многоугольники Параллелограмм Прямоугольник Ромб Трапеция Теоремы о площади четырехугольника

Правильные многоугольники Теорема. Все углы правильного многоугольника меньше 180°. Доказательство. (Если продлить одну из сторон, многоугольник будет лежать по одну сторону от проведенной прямой) Правильный многоугольник многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Правильный треугольник Правильный четырехугольник (квадрат) Правильный пятиугольник Правильный шестиугольник Содержание

Теорема. У любого правильного многоугольника есть центр. Доказательство. Проведем в многоугольнике биссектрисы углов, пусть они пересекаются в точке O. Правильные многоугольники Так как, то Аналогично, Примечание. Есть точка, равноудаленная от вершин, которая является центром описанной около многоугольника окружности. Эта же точка центр вписанной окружности. Доказательство. Центр правильного многоугольника равноудален от его сторон, так как в равных треугольниках равные высоты. И так далее для всех вершин. Центр правильного многоугольника это точка, равноудаленная от всех его вершин и от всех его сторон. Содержание

Правильные многоугольники 1.Угол между биссектрисами двух соседних углов равен : 2. Угол n-угольника: 3. Сумма углов правильного n-угольника равна : 4. Число диагоналей в n-угольнике: Теорема об углах правильного многоугольника. Содержание

Правильные многоугольники Элементы правильных многоугольников. 1. Радиус вписанной окружности: Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC: Таким образом,. Что и требовалось доказать. 2. Сторона многоугольника: Содержание

Правильные многоугольники 3. Радиус описанной окружности: Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC: Таким образом, Что и требовалось доказать. Содержание

Правильные многоугольники 4. Площадь многоугольника: Итак, Таким образом, Что и требовалось доказать. Доказательство. Содержание

Правильные многоугольники 5. Диагональ d равна: Доказательство. По теореме косинусов: Примечание. Содержание

, т.к. AC общая, а, Параллелограмм Параллелограмм четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойства параллелограмма: 1) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Доказательство. (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC). Что и требовалось доказать. Следовательно, Содержание

Параллелограмм 2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам., так как, (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущих AC и BD), (по свойству 1) Что и требовалось доказать. Доказательство. Следовательно, Содержание

Параллелограмм 3) Диагонали параллелограмма делят его на 2 равных треугольника. Что и требовалось доказать. Так как по свойству 1 то Доказательство. Содержание

Параллелограмм Признаки параллелограмма. 1) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм. (по свойству 1), (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD). Тогда Следовательно, прямая AD параллельна прямой BC, а значит, ABCD параллелограмм. Доказательство. Пусть прямая AB параллельна прямой CD. BD общая, Содержание

Параллелограмм 2) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм., так как,, а AC общая. Следовательно, прямая AB параллельна прямой CD, прямая BC параллельна AD, а значит, ABCD параллелограмм. Доказательство. Тогда Содержание

Параллелограмм 3) Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм. Доказательство. По условию Следовательно, Таким образом, противоположные стороны параллельны, следовательно, ABCD параллелограмм. (вертикальные), Тогда Содержание

Параллелограмм Площадь параллелограмма равна: Доказательство. Площадь параллелограмма равна площади прямоугольника (см. рисунок). Что и требовалось доказать. Содержание

Прямоугольник Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Свойства прямоугольника. 1. Все свойства параллелограмма 2. Диагонали прямоугольника равны Доказательство., так как(по свойству параллелограмма), Следовательно, CD общая, Что и требовалось доказать. Содержание

Прямоугольник Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник. Доказательство., так как AB общая, (по условию), (свойство параллелограмма). По свойству параллелограмма В нашем случае. Тогда Содержание

Ромб Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны. Свойства ромба. 1) Все свойства параллелограмма 2) Диагонали ромба взаимоперпендикулярные. Доказательство. Так как ABCD ромб, по свойству параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам. Тогда AO медиана DAB. А в равнобедренном треугольнике медиана является высотой. (по определению), следовательно, DAB равнобедренный. Следовательно, Содержание

Таким образом, BD биссектрисаи Ромб 3) Диагонали ромба являются биссектрисами углов., так как, BD общая. Следовательно, Верны и обратные утверждения (признаки ромба): 1) Если в параллелограмме диагонали взаимоперпендикулярны, то этот параллелограмм ромб. 2) Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами углов, то этот параллелограмм ромб. Содержание

Трапеция четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие боковыми сторонами. трапеция равнобедренная (боковые стороны равны) прямоугольная (один из углов прямой) Высота трапеции расстояние между прямыми, на которых лежат основания трапеции. (на рисунках отмечена красным цветом) Средняя линия трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Трапеция Содержание произвольная

Трапеция и окружность. 1) Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия полусумме боковых сторон. Доказательство. Достроим трапецию ABCD до параллелограмма ABKD. Рассмотрим треугольник CKD: l средняя линия Тогда В нашем случае сумма оснований равна сумме боковых сторон трапеции. Тогда Трапеция Содержание

Трапеция 2) Из всех трапеций только около равнобокой трапеции можно описать окружность, так как окружность можно описать около четырехугольника, когда сумма противоположных углов равна 180º. По условию сумма противоположных углов равна 180º Тогда Доказательство. Что и требовалось доказать. Содержание

Теоремы о площади четырехугольника 2. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна 1. Любой треугольник можно разбить на треугольники, и его площадь будет равна сумме площадей треугольников. Доказательство. Что и требовалось доказать. Содержание

Теоремы о площади четырехугольника 3. Пусть диагонали точкой пересечения делятся, как показано на рисунке. Следствие. Площадь ромба равна так как Примечание. Доказательство. Содержание

Теоремы о площади четырехугольника 4. Площадь квадрата 5. Площадь прямоугольника 6. Площадь параллелограмма Доказательство. Площадь параллелограмма равна площади прямоугольника (см. рисунок). Что и требовалось доказать. Содержание

Теоремы о площади четырехугольника 7. Площадь трапеции Доказательство. Содержание

Конец! Завершить показ Начать заново