Практика цифровой обработки оптических сигналов Учебное пособие (краткий курс лекций) Лычагов В.В., Рябухо В.П. ГОУ ВПО «Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского» Кафедра оптики и биофотоники Саратов, 2010

Постановка задачи

Лазерная флоуметрия биологических (и не только) жидкостей Спектр флуктуаций фототока, пропорциональных изменению интенсивности на фотоприемнике Спектральный анализ, цифровая фильтрация, корреляционный анализ, статистический анализ…

Интерферометрия (лазерная, низкокогерентная, спекл-, полного поля, микро-, голографическая и т.д.) Измерения : Толщин; Профиля поверхности; Деформаций; Смещений; Вибраций; Параметров движения; Оптических напряжений; Скрытых дефектов; … Цифровая фильтрация, морфологический анализ, корреляционный анализ, частотно-временные и частотно-пространственные преобразования…

Оптическая когерентная томография (ОКТ) Восстановление внутренней оптической 2- D и 3-D структуры объекта по одномерным сечениям (формирование искусственных изображений) Цифровая фильтрация, визуализация, частотно-временные и пространственно- временные преобразования…

Фурье-спектроскопия Расчет спектра излучения источника по его функции автокорреляции посредством Фурье-преобразования Фурье- преобразование Фурье-преобразования, цифровая фильтрация…

Спектральный метод ОКТ Обратное преобразование Фурье Фурье-преобразования, цифровая фильтрация, корреляционный анализ, морфологический анализ…

Аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразования

Преобразование сигналов: аналоговый – цифровой Дискретизация по времени: теорема отсчетов T – период дискретизации; Fd=1 / T – частота дискретизации; Критерий (Теорема) Найквиста (Шеннона, Котельникова): Частота дискретизации сигнала должна быть как минимум в два раза больше максимальной частоты, содержащейся в сигнале Fd 2*Fmax Fn = Fd / 2 Fmax Fn

Преобразование сигналов: аналоговый – цифровой Дискретизация по времени: периодичность спектра

Преобразование сигналов: аналоговый – цифровой Дискретизация по времени: наложение спектров Частота дискретизации достаточная, чтобы адекватно разрешить все частоты сигнала Частота дискретизации мала – происходит наложение спектров

Преобразование сигналов: аналоговый – цифровой Квантование по уровню: ошибка квантования x(n) = x(t=nT) – дискретный сигнал xq(n) – цифровой сигнал e(n) = x(n) - xq(n) – шум квантования xq(n) = x(n) + e(n) T – период дискретизации Q – шаг квантования

Преобразование сигналов: аналоговый – цифровой Квантование по уровню: метод округления Ошибка метода округления -Q/2 e(n) Q/2 Среднее значение ошибки округления равно 0

Преобразование сигналов: аналоговый – цифровой Квантование по уровню: метод усечения Ошибка метода усечения 0 e(n) Q Среднее значение ошибки усечения равно Q/2 Диапазон входных напряжений АЦП +/-5В Разрядность АЦП 12 бит Шаг квантования 2.4мВ

Преобразование сигналов: цифровой – аналоговый Интерполятор нулевого порядка

Ряд Фурье Преобразование Фурье Дискретное преобразование Фурье Быстрое преобразование Фурье Спектральный анализ Оценка спектра

Преобразование Фурье

Разложение в ряд Фурье Коэффициенты ряда Фурье t – здесь - время, но может быть чем угодно – циклическая частота первой гармоники T – период изменения сигнала T = 2 / k = 1, 2, 3, 4, …

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций cos( - k t ) = cos( k t ) Ряд Фурье четной функции содержит только косинусоидальные члены: sin( - k t ) = - sin( k t ) Ряд Фурье нечетной функции содержит только синусоидальные члены:

Экспоненциальное представление ряда Фурье амплитудный и фазовый спектр: связь с коэффициентами действительного ряда Фурье:

Спектр последовательности прямоугольных импульсов действительная часть коэффициентов ряда Фурье – коэффициенты при косинусе мнимая часть коэффициентов ряда Фурье – коэффициенты при синусе амплитудный спектр сигнала спектр мощности сигнала

Разложение непериодических сигналов Интегральное преобразование Фурье

Свойства преобразования Фурье Линейность: Сдвиг сигнала во времени:

Свойства преобразования Фурье Подобие: Теорема Парсеваля:

Дискретное преобразование Фурье k, i = 0, 1, 2,…, N-1 x 1, x 2, x 3, …x N-1 – отсчеты дискретного сигнала

Быстрое Преобразование Фурье k = 0, 1, 2,… N-1 x(i), i = 0, 1, 2,... N-1 x 1 (i) = x(2i), i = 0, 1, 2,... N/2 – 1 x 2 (i) = x(2i+1), i = 0, 1, 2,... N/2 – 1

Быстрое преобразование Фурье Вычисление 8-точечного БПФ X(0) = X 1 (0) + W 0 X 2 (0); X(4) = X 1 (0) – W 0 X 2 (0); … и так далее

Быстрое преобразование Фурье Вычисление 8-точечного БПФ ii2i2 i 2 -1 i операция инверсии битов:

Проблемы спектрального анализа Эффекты конечного размера реализации «гребешковое искажение» Составляющая сигнала на частоте f ? не может быть представлена в спектре. Возможный вариант решения проблемы – использование дополняющих нулей. Исходная реализация содержит N точек отсчитанных через T секунд. Дополненная реализация – N+N` точек через те же T секунд.

Эффекты конечного размера реализации Просачивание спектральных составляющих и размывание спектра. Выборка данных в течение некоторого времени эквивалентна умножению сигнала на функцию (временное окно) спектр которой (спектральное окно) равен

Проблемы спектрального анализа Случайный характер измеряемых величин Каждой выборке или реализации случайного процесса соответствует выборочный спектр, так же имеющий случайный характер. Для детерминированных сигналов выборочный спектр при увеличении времени измерения сходится к истинному спектру сигнала. Для случайных сигналов выборочный спектр не сходится к какому- либо предельному значению. Для случайных сигналов можно говорить только об оценке спектра Оценка спектра, являясь статистической величиной, может быть охарактеризована смещением и дисперсией.

Немного статистики Математическое ожидание величины x(i) : Дисперсия ряда x(i) : Если оценка спектра величина статистическая, то она должна иметь функцию распределения плотности вероятности Смещение оценки спектра: – истинный спектр случайного процесса – статистическая оценка этого спектра

Метод периодограмм Величина называется периодограммой и представляет собой оценку спектра мощности случайного сигнала в дискретном представлении Для больших N смещение периодограммы является незначительным и сходится к Дисперсия периодограммы не равна 0 и не стремится к нему при увеличении N x(i), i = 0... N-1 – дискретный временной ряд – коэффициенты дискретного преобразования Фурье

Модифицированные периодограммы дисперсия оценки по методу Уэлча меньше, но перекрывающиеся сегменты коррелируют между собой. метод Бартлеттаметод Уэлча

Взвешивание узкое временное окно (широкое спектральное окно, малое М) – дисперсия оценки малая, но большое смещение; широкое временное окно (узкое спектральное окно, большое М) – дисперсия увеличивается, но смещение оценки становится малым

Небольшой пример реализация шумового сигнала......он же, растянутый во времени

Небольшой пример

Корреляция и свертка: функция корреляции, коэффициент корреляции, циклическая корреляция, линейная корреляция, быстрая корреляция, импульсная характеристика системы, теорема о свертке, обращение свертки...

Корреляция двух рядов конечной длины Краевой эффект Функция взаимной корреляции: Для сигналов, содержащих мощную постоянную составляющую:

Нормированная функция корреляции Коэффициенты корреляции коэффициент взаимной корреляции функция автокорреляции коэффициент автокорреляции

Циклическая и линейная корреляции x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 r(j) y3y3 y1y1 y2y2 y3y3 x 1 y 3 +x 2 y 1 +x 3 y 2 +x 4 y 3 y1y1 y2y2 y3y3 y1y1 x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 +x 4 y 1 y2y2 y3y3 y1y1 y2y2 x 1 y 2 +x 2 y 3 +x 3 y 1 +x 4 y 2 y3y3 y1y1 y2y2 y3y3 x 1 y 3 +x 2 y 1 +x 3 y 2 +x 4 y 3 y1y1 y2y2 y3y3 y1y1 x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 +x 4 y 1 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 r(j) y1y1 y2y2 y3y3 x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 y2y2 y3y3 y3y3 x 1 y 2 +x 2 y 3 y3y3 y2y2 y3y3 x1y3x1y3 y1y1 y2y2 y3y3 x4y1x4y1 y1y1 y2y2 y3y3 x 3 y 1 +x 4 y 2 y1y1 y2y2 y3y3 x 2 y 1 +x 3 y 2 +x 4 y 3 y1y1 y2y2 y3y3 x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 x={x 1,x 2,x 3,x 4 } y={y 1,y 2,y 3 } Циклическая корреляция периодична с периодом, равным длине более короткой реализации Для получения линейной корреляции последовательности необходимо дополнить нулями: x={x 1,x 2,x 3,x 4,0,0} y={y 1,y 2,y 3,0,0,0} Длина конечного вектора: N 1 +N 2 -1 N1 – длина первого вектора N2 – длина второго вектора

Быстрая корреляция Расчет быстрой корреляции методом БПФ Теорема о корреляции: Это выражение для циклической корреляции. Для получения линейной корреляции нужно использовать дополняющие нули. Расчет быстрой корреляции рекурсивным методом (новое значение) = (предыдущее значение) + +1/N(произведение двух новых членов)- -1/N(произведение первых двух членов)

Применение корреляции в обработке одномерных данных Расчет спектра мощности сигнала. Теорема Винера-Хинчина Выделение периодических составляющих из зашумленных сигналов

Свертка. Связь входного сигнала, выходного сигнала и импульсной характеристики системы y(0) = h(0)x(0); y(1) = h(1)x(0) + h(0)x(1); y(2) = h(2)x(0) + h(1)x(1) + h(0)x(2); … y(n) = h(n)x(0) + h(n-1)x(1) + … + h(0)x(n)

Графическая интерпретация операции свертки x(m) h(m) x(m) h(-m) x(m) h(t-m)

Свертка во временной и частотной областях Теорема о свертке Свойства свертки Коммутативность Дистрибутивность Ассоциативность

Обращение свертки Круговая и линейная свертка Обращение свертки Идентификация системы x0x0 x1x1 x2x2 ………x N-1 0…0 NM-1 h0h0 h1h1 h2h2 ……h M-1 0……0 MN-1

Вычисление свертки и корреляции методом сегментации

Литература, которая может понадобиться: Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа: Пер. с англ. – М.:Мир, – 312 с. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах. Пер. с франц. – М.:Мир, – 568 с. Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подход, 2-е издание: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», – 992 с. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. – М.: Связь, – 416 с. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. – М.:Мир, – 849 с. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. – М.: Техносфера, – 1072 с. Прэтт Э. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ. – М.:Мир, – 312 с.