Кузнецов Сергей Иванович доцент кафедры ОФ ЕНМФ ТПУ Электромагнетизм

Тема 1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ 1.1.Магнитные взаимодействия 1.2.Закон Био-Савара-Лапласа 1.3.Магнитное поле движущегося заряда 1.4.Напряженность магнитного поля 1.5.Магнитное поле прямого тока 1.6. Магнитное поле кругового тока 1.7.Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции Сегодня:

1.1. Магнитные взаимодействия В пространстве, окружающем намагниченные тела, возникает магнитное поле. Помещенная в это поле маленькая магнитная стрелка устанавливается в каждой его точке вполне определенным образом, указывая тем самым направление поля. Тот конец стрелки, который в магнитном поле Земли указывает на север, называется северным, а противоположный – южным.

При отклонении магнитной стрелки от направления магнитного поля, на стрелку действует механический крутящий момент М кр, пропорциональный синусу угла отклонения α и стремящийся повернуть ее вдоль указанного направления. При взаимодействии постоянных магнитов они испытывают результирующий момент сил, но не силу. Подобно электрическому диполю, постоянный магнит в однородном поле стремится повернуться по полю, но не перемещаться в нем.

Отличие постоянных магнитов от Электрических диполей заключается в следующем: Электрический диполь всегда состоит из зарядов, равных по величине и противоположных по знаку. Постоянный же магнит, будучи разрезан пополам, превращается в два меньших магнита, каждый из которых имеет и северный и южный полюса.

Подводя итоги сведениям о магнетизме, накопленным к 1600 г., английский ученый- физик Уильям Гильберт написал труд «О магните, магнитных телах и большом магните – Земле»

Все же, к середине XVIII века, окрепло убеждение о наличии тесной связи между электрическими и магнитными явлениями. В своих трудах У. Гильберт высказал мнение, что, несмотря на некоторое внешнее сходство, природа электрических и магнитных явлений различна.

В 1820 г. Х. Эрстед открыл магнитное поле электрического тока. А. Ампер установил законы магнитного взаимодействия токов. Ампер объяснил магнетизм веществ существованием молекулярных токов.

Открытие Эрстеда. При помещении магнитной стрелки в непосредственной близости от проводника с током он обнаружил, что при протекании по проводнику тока, стрелка отклоняется; после выключения тока стрелка возвращается в исходное положение (рис. 1.1). Из описанного опыта Эрстед делает вывод: вокруг прямолинейного проводника с током есть магнитное поле.

Общий вывод: вокруг всякого проводника с током есть магнитное поле. Но ведь ток – это направленное движение зарядов. Опыты подтверждают: магнитное поле появляется вокруг электронных пучков и вокруг перемещающихся в пространстве заряженных тел. Вокруг всякого движущегося заряда помимо электрического поля существует еще и магнитное.

qV=const

Магнитное поле материально. Подобно электрическому полю, оно обладает энергией и, следовательно, массой. Определение магнитного поля: Магнитное поле – это материя, связанная с движущимися зарядами и обнаруживающая себя по действию на магнитные стрелки и движущиеся заряды, помещенные в это поле.

Возьмем такой контур с током I и поместим его в магнитное поле. Основное свойство магнитного поля – способность действовать на движущиеся электрические заряды с определенной силой. В магнитном поле контур с током будет ориентироваться определенным образом. Ориентацию контура в прост- ранстве будем характеризо- вать направлением нормали, связанной с движением тока правилом правого винта или «правилом буравчика»

Контур ориентируется в данной точке поля только одним способом. Примем положительное направление нормали за направление магнитного поля в данной точке.

Вращающий момент прямо пропорционален величине тока I, площади контура S и синусу угла между направлением магнитного поля и нормали здесь М – вращающий момент, или момент силы, - магнитный момент контура (аналогично – электрический момент диполя).

Направление вектора магнитного момента совпадает с положительным направлением нормали:

для данной точки магнитного поля будет одним и тем же и может служить характеристикой магнитного поля, названной магнитной индукцией: – вектор магнитной индукции, совпадающий с нормалью Отношение момента силы к магнитному моменту По аналогии с электрическим полем

Магнитная индукция характеризует силовое действие магнитного поля на ток (аналогично, характеризует силовое действие электрического поля на заряд). – силовая характеристика магнитного поля, ее можно изобразить с помощью магнитных силовых линий. Поскольку М – момент силы и – магнитный момент являются характеристиками вращательного движения, то можно предположить, что магнитное поле – вихревое.

Условились, за направление принимать направление северного конца магнитной стрелки. Силовые линии выходят из северного полюса, а входят, соответственно, в южный полюс магнита. Для графического изображения полей удобно пользоваться силовыми линиями (линиями магнитной индукции). Линиями магнитной индукции называются кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора в этой точке.

Конфигурацию силовых линий легко установить с помощью мелких железных опилок которые намагничиваются в исследуемом магнитном поле и ведут себя подобно маленьким магнитным стрелкам (поворачиваются вдоль силовых линий). (рис. 1.3)

1.2. 3акон Био–Савара–Лапласа В 1820 г. французские физики Жан Батист Био и Феликс Савар, провели исследования магнитных полей токов различной формы. А французский математик Пьер Лаплас обобщил эти исследования.

qV=const

3акон Био–Савара–Лапласа Элемент тока длины dl создает поле с магнитной индукцией:

Здесь: I – ток; – вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный в ту сторону, куда течет ток; – радиус-вектор, проведенный от элемента тока в точку, в которой мы определяем ; r – модуль радиус-вектора; k – коэффициент пропорциональности, зависящий от системы единиц.

Вектор магнитной индукции направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через и точку, в которой вычисляется поле.

Направление связано с направлением «правилом буравчика»: направление вращения головки винта дает направление, поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Закон Био–Савара–Лапласа устанавливает величину и направление вектора в произвольной точке магнитного поля, созданного проводником с током I. Модуль вектора определяется соотношением: где α - угол между и ; k – коэффициент пропорциональности.

Закон Био–Савара–Лапласа для вакуума можно записать так: где – магнитная постоянная.

I

Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока:

1.3. Магнитное поле движущегося заряда Электрический ток – упорядоченное движение зарядов, а, как мы доказали только что, магнитное поле порождается движущимися зарядами. Найдем магнитное поле, создаваемое одним движущимся зарядом (рис. 1.5). (рис. 1.5)

(1.2.2) В уравнении заменим ток I на jS, где j – плотность тока. Векторы и имеют одинаковое направление, значит:

Если все заряды одинаковы и имеют заряд q, то: где n – число носителей заряда в единице объема; – дрейфовая скорость зарядов. Если заряды положительные, то и имеют одно направление (рис. 1.5). Подставив (1.3.1) в (1.2.2), получим: (1.3.2) (1.3.1)

Обозначим – число носителей заряда в отрезке Разделив (1.3.2) на это число, получим выражение для индукции магнитного поля, создаваемого одним зарядом, движущимся со скоростью : (1.3.3)

В скалярной форме индукция магнитного поля одного заряда в вакууме определяется по формуле: (1.3.4) Эта формула справедлива при скоростях заряженных частиц

1.4. Напряженность магнитного поля Магнитное поле – это одна из форм проявления электромагнитного поля, особенностью которого является то, что это поле действует только на движущиеся частицы и тела, обладающие электрическим зарядом, а также на намагниченные тела.

Магнитное поле создается проводниками с током, движущимися электрическими заряженными частицами и телами, а также переменными электрическими полями. Силовой характеристикой магнитного поля служит вектор магнитной индукции поля созданного одним зарядом в вакууме:

Напряженностью магнитного поля называют векторную величину, характеризующую магнитное поле и определяемую следующим образом: Напряженность магнитного поля заряда q, движущегося в вакууме равна: Закон Био– Савара– Лапласа для

1.5. Магнитное поле прямого тока Рассмотрим магнитное поле прямого тока

Пусть точка, в которой определяется магнитное поле, находится на расстоянии b от провода. Из рис. 1.6 видно, что: Подставив найденные значения r и dl в закон Био–Савара–Лапласа, получим:

Для конечного проводника угол α изменяется от, до. Тогда: Для бесконечно длинного проводника а, тогда: или (1.5.1) (1.5.2)

1.6. Магнитное поле кругового тока Рассмотрим поле, создаваемое током I, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R (рис. 1.7).

т.к. угол между и α – прямой, то тогда получим: (1.6.1)

Подставив в (1.6.1) и, проинтегрировав по всему контуру получим выражение для нахождения магнитной индукции кругового тока: При, получим магнитную индукцию в центре кругового тока: (1.6.2) (1.6.3)

Заметим, что в числителе (1.6.2) – магнитный момент контура. Тогда, на большом расстоянии от контура, при, магнитную индукцию можно рассчитать по формуле: (1.6.4)

Силовые линии магнитного поля кругового тока хорошо видны в опыте с железными опилками (рис. 1.8). Рис. 1.8

1.7. Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции Поток вектора Ф В через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом: Это теорема Гаусса для (в интегральной форме): поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. (1.7.1)

В природе нет магнитных зарядов – источников магнитного поля, на которых начинались и заканчивались бы линии магнитной индукции. Заменив поверхностный интеграл в (1.7.1) объемным, получим: где – оператор Лапласа. (1.7.2)

Магнитное поле обладает тем свойством, что его дивергенция всюду равна нулю: или Электростатического поля может быть выражено скалярным потенциалом φ, а магнитное поле – вихревое, или соленоидальное (1.7.3)

Основные уравнения магнитостатики Основные уравнения магнитостатики для магнитных полей, созданных постоянными потоками зарядов, записанные в дифференциальной форме, имеют вид Первое из этих уравнений говорит, что дивергенция вектора В равна нулю. А второе уравнение говорит, что магнитные поля создаются токами.

Магнитные линии образуют петли вокруг токов. Не имея ни конца, ни начала, линии В возвращаются в исходную точку, образуя замкнутые петли. В любых, самых сложных случаях линии В не исходят из точек. Утверждение, что, справедливо всегда. Возникают магнитные поля в присутствии токов и являются вихревыми полями в области, где есть токи. Векторная функция векторного аргумента – ротор, взятая от В, пропорциональна плотности тока

Сравнив уравнения магнитостатики с уравнениями электростатики можно заключить, что электрическое поле всегда потенциально, а его источниками являются электрические заряды.

Магнитное поле в пространстве не потенциально, а является вихревым. Его источником служат электрические токи. Магнитного аналога электрического заряда не существует. Нет зарядов, из которых выходят линии вектора магнитной индукции В. Не имея ни конца, ни начала, линии В возвращаются в исходную точку, образуя замкнутые петли.

Из сравнения этих уравнений вытекает, что источниками электрического поля могут быть электрические заряды, а магнитные поля могут возбуждаться электрическими токами. Эти уравнения не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но отсутствуют магнитные

Компьютерная модель магнитного поля Земли, подтверждающая вихревой характер, изображена на рис.