1 3. Системы линейных уравнений. Леопо́льд Кро́некер

2 3.1 Общее понятие о системе линейных уравнений Простейшим примером уравнения первой степени, или как говорят, линейного уравнения, является уравнение с одним неизвестным 1. Если a 0, то разделив обе части уравнения (3.1) на получим единственное решение 2. В случае a=0 и уравнение (3.1) не имеет решений. 3. Если a=0 и b=0, то любое число будет удовлетворять уравнению (3.1); в этом случае рассматриваемое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений.

3 Определение: Систему уравнений вида: называют системой m линейных уравнений с n неизвестными. Через системы (их число n не предполагается обязательно равным числу уравнений m). обозначены неизвестные Величины называются коэффициентами системы, а величины - свободными членами.

4 Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, если хотя бы один свободный член не равен нулю, то система называется неоднородной. Система (3.2) называется квадратной, если m=n. Решением системы (3.2) называется совокупность таких чисел которая при подстановке в систему, вместо неизвестных обращает все уравнения этой системы в тождества.

5 Не всякая система вида (3.2) имеет решение. Так система линейных уравнений заведомо не имеет ни одного решения. Система уравнений вида (3.2), называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения. Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определённой, если совместная система имеет два и более решений, то она называется неопределённой.

6 3.2 Правило Крамера. Для простоты будем рассматривать систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: Из коэффициентов системы составим определитель: Предположим, что 0. Определитель называют определителем системы.

7 Умножим первое уравнение на второе - на третье – на и сложим

8 На основании свойства 6 коэффициент при x, будет равен а на основании свойства 7 коэффициенты при y и z, будут равны нулю Поступая аналогично, исключим x и z, а также x и y. (3.4) Таким образом из системы (3.3) получим систему:

9 Правые части уравнений обозначим соответственно символами

10 Определители получаются из определителя при помощи замены соответственно его первого, второго и, наконец, третьего столбца столбцом свободных членов системы (3.3). Тогда система уравнений (3.4) примет вид

11 Т.к. то из (3.5) находим Формулы получили название формул Крамера и применимы лишь в случае, если определитель системы отличен от нуля. (3.6)

12 Пример: Решить систему: Вычислим определитель системы: Решение:

13

14

Совместность систем. Теорема Кронекера-Капелли Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

16 Обозначим через A матрицу из коэффициентов (3.8), а через В – матрицу, полученную из А присоединением столбца свободных членов Mатрицу А называют основной, матрицу В называют расширенной

17 Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А был равен рангу расширенной матрицы В. Теорема о совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли): Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное количество решений.

18 Пример: Проверить на совместность систему Решение Выпишем расширенную матрицу данной системы и найдем ранги основной и расширенной матриц. Умножим третью строку на -1 и прибавим к первой

19 Переставим вторую и третью строки Получили rangA=2, rangB=3, откуда Т.е. система уравнений несовместна.

Матричный метод решения системы линейных уравнений Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

21 Матрица A в этом случае будет квадратной. Составим определитель этой матрицы:

22 Введём матрицы-столбцы для неизвестных и свободных членов Тогда систему (3.8) в матричном виде можно записать: !

23 Действительно, Две матрицы равны, если будут равны соответствующие элементы, т.е. мы получили исходную систему уравнений.

24 Умножим это выражение слева на обратную матрицу: (3.9)

25 Пример: Решить систему средствами матричного исчисления Решение.

26 Найдем алгебраические дополнения и обратную матрицу

27 Тогда обратная матрица имеет вид:

28 Ответ:

Метод Гаусса. Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными: Исключим из всех уравнений системы начиная со второго, неизвестную x 1. Для этого первое уравнение нужно умножить на и сложить со вторым уравнением и т.д.

30 В результате получим систему вида: Далее первое и второе уравнения оставим без изменения, а начиная с третьего уравнения, будем избавляться от переменной x 2 и т.д. Продолжая этот процесс, в конечном счёте получится система вида:

31 Если k=n, то система имеет единственное решение, если kn, а именно k

32 Т.е. при помощи элементарных преобразований, мы будем стремиться к тому, чтобы на диагонали были не нулевые элементы, а элементы лежащие ниже главной диагонали равны нулю.

33 Пример. Решить методом Гаусса систему уравнений: Решение:

34

35 Составим систему уравнений Очевидно, что