Площади фигур

Людям часто приходилось делить землю по берегам Нила на участки. Подсчитывать площадь трудно, берега извилисты, границы участка неровные. И люди постепенно научились измерять такие площади, разбивая их на прямоугольные и треугольные участки (17 век до н. э.) Происхождение науки геометрии. Для чего нужно было измерять площади?

Свойства площадей Равные фигуры имеют равные площади. F М Если F = М, то S F = S M F

Свойства площадей Если фигура составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур. А М S ACME = S ABE + S BCKE + S EKM Е В СK

Свойства площадей a A BC D Площадь квадрата равна квадрату его стороны. S ABCD = a 2

Единицы измерения площадей 1 мм 2 1 см 2 1 дм 2 1 м 2 1 км 2 1 а 1 га 100 мм см 2 = мм дм 2 = см м м а = м 2

Старинные меры площадей на Руси В 11 – 13 веках употреблялась мера «плуг» - это мера земли, с которой платили дань. Есть основание считать, что «плуг» - 8 – 9 гектаров. В 16 – 18 веках мерою полей служит «десятина»( равная 1,1 га) и «четверть»( равная половине десятины- поле, на котором высевали четверть хлеба). Десятина, которая в быту местами имела и другие размеры, делилась на 2 «четверти», четверть, в свою очередь, на 2 «осьмины», осьмина – на 2 «полуосьмины» ит.д. Налоговой единицей земли была «соха», в Новгороде «обжа», которая имела различные размеры, в зависимости от качества земли социального положения владельца. Позже землю измеряли «акрами» (4047 м 2 )

Измерение площадей 2. Вычисление площади многоугольников с вершинами в узлах квадратной сетки производится по формуле: S = В + ½ Г – 1, где В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника, Г - количество узлов сетки, лежащие на границе многоугольника. Эта формула носит имя немецкого математика Пика, открывшего её. На рисунке: В = 9, Г = 8, S = : 2 – 1 = 12 1.С помощью палетки: считаем сначала количество целых квадратов, затем их частей, которые дают целый квадрат: = 12

Площадь прямоугольника Теорема: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. S a b a2a2 a a b2b2 b b Дано: а, b –стороны прямоугольника. Доказать: S = a b. Доказательство: Достроим прямоугольник до квадрата cо стороной ( а + b ). Его площадь равна ( а + b ) 2 или S + a 2 + S + b 2 Получим: (a + b) 2 = S + a 2 + S + b 2 a 2 + 2ab + b 2 = 2 S + a 2 + b 2 2 S = 2 a b S = a b a S b

Реши задачи 1. Найти площадь прямоугольника, у которого смежные стороны равны 3,5 см и 8 см. 2. Одна из сторон прямоугольника равна 2,5 см, а его площадь 10 см 2. Чему равен периметр прямоугольника ? 3. Сколько краски необходимо для покраски пола в комнате, размеры которой 3 м и 4 м, если на 1м 2 расходуется 0,2 кг краски ? 4. Сколько времени нужно для скашивания травы с луга, размеры которого 20 м и 15 м, если работник скашивает газонокосилкой 1 сотку за 15 мин ? 28 см 2 13 см 2,4 кг 45 мин.

Реши задачи Дано: АВСD – прямоугольник ВК – биссектриса угла АВС, АК = 5 см, КD = 7 см. Найти: S ABCD 60 cм 2 Найти: S ABCK 1 м 2 3.Периметр квадрата равен 32 см, а одна сторона прямоугольника 4 см. Найдите другую сторону прямоугольника, если известно, что он имеет площадь такую же, что и квадрат. 16 см 1. A B C D K дм А В С К M

Найти площадь фигуры В А С Е D F

Реши задачу

Решение задачи На стороне АВ параллелограмма АВСК отмечена точка Е так, что КЕ АВ. Докажите, что площадь параллелограмма АВСК равна ЕК АВ. Доказательство: Продолжим АВ и проведём СМ АВ. 2.АЕК = ВМС ( по катету и гипотенузе) Значит, S AEK = S BMC 3. ABCK состоит из АЕК и трапеции КЕВС, КЕМС состоит из ВМС и трапеции КЕВС, значит, S ABCK = S AEK + S KEBC, S KEMC = S BMC + S KEBC 4.Получим: S ABCK = S KEMC = EK КC = EK AB 1.АВСК – параллелограмм, значит, АВ = КС, и АВ КС, КЕ АВ, СМ АВ, значит, KEМС – прямоугольник, S KEMC = EK KC М E А В С К

« Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит» М. В. Ломоносов