Координатная прямая Координатной прямой, или координатной осью называется прямая, на которой выбраны точка O, называемая началом координат, и единичный отрезок OE, указывающий положительное направление координатной прямой. Координатой точки А на координатной прямой называется расстояние x от точки А до начала координат О, взятое со знаком "+", если А принадлежит положительной полуоси, и со знаком "–", если А принадлежит отрицательной полуоси.

Координатная плоскость Прямоугольной системой координат на плоскости называется пара перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Плоскость, с заданной прямоугольной системой координат, называется координатной плоскостью. Начало координат обозначается буквой O, а координатные прямые обозначаются Ox, Oy и называются соответственно осью абсцисс и осью ординат.

Координаты точки Пусть A – точка на координатной плоскости. Через точку A проведем прямую, перпендикулярную оси Ox. Координата этой точки на оси Ox называется абсциссой точки A и обозначается x. Аналогично через точку А проведем прямую, перпендикулярную оси Оy. Координата этой точки на оси Oy называется ординатой точки А и обозначается y. Таким образом, каждой точке А на координатной плоскости соответствует пара чисел (x, y), называемая координатами точки на плоскости относительно данной системы координат. Точка А с координатами (x, y) обозначается А(x, y). На рисунке отмечена точка А(2, 3).

Р. Декарт Впервые прямоугольные координаты были введены Р. Декартом ( ), поэтому прямоугольную систему координат называют также декартовой системой координат, а сами координаты – декартовыми координатами. Введение прямоугольных координат на плоскости позволило свести многие геометрические задачи к чисто алгебраическим и, наоборот, алгебраические задачи – к геометрическим. Метод, основанный на этом, называется методом координат.

Упражнение 1 Для заданных точек на координатной плоскости найдите их координаты. Ответ: A(3, 1), B(2, 3), C(1, 2), D(–2, 2), E(–1, –2), F(4, –1).

Упражнение 2 На координатной плоскости изобразите точки A(2, 1), B(1, 3), C(4, 2), D(-3, 2), E(-2, -3), F(3, -2).

Упражнение 3 Изобразите отрезок, концы которого имеют координаты: а) (0, 0) и (3, 3); б) (-1, 1) и (2, 1); в) (-2, -1) и (1, -3). Ответ: а) б) в)

Упражнение 4 Найдите координаты середины отрезка: а) AB; б) CD; в) EF. Ответ: а) (1, 2); б) (2, –2); в) (–1,5, –1).

Упражнение 5 Изобразите угол AOB, для которого: а) A(3, 0), O(0, 0), B(0, 3); б) A(3, 0), O(0, 0), B(3, 3); в) A(3, 0), O(0, 0), B(-3, 3). Найдите его величину. Ответ: а) 90 о ; б) 45 о ; в) 135 о.

Упражнение 6 Изобразите угол ABC, для которого: а) A(2, 1), B(-1, 1), C(2, -2); б) A(2, -1), B(-1, 2), C(1, 4); в) A(-1, 0), B(3, 2), C(2, 4). Найдите его величину. Ответ: а) 45 о ; б) 90 о ; в) 90 о.

Упражнение 7 Изобразите ломаную ABCDE, для которой: а) A(2, 0), B(2, 3), C(-1, 3), D(-1, 1), E(1, 1). Найдите ее длину. Ответ: 10.

Упражнение 8 Изобразите треугольник ABC, для которого A(-2, - 1), B(2, -1), C(-2, 1). Какой это треугольник? Ответ. Прямоугольный.

Упражнение 9 Изобразите треугольник ABC, для которого A(-2, - 2), B(2, -2), C(0, 1). Какой это треугольник? Ответ. Равнобедренный.

Упражнение 10 Изобразите четырехугольник ABCD, для которого A(-2, 0), B(0, -2), C(2, 0), D(0, 2). Какой это четырехугольник? Ответ. Квадрат.

Упражнение 11 Изобразите четырехугольник ABCD, для которого A(-2, 1), B(2, -1), C(3, 1), D(-1, 3). Какой это четырехугольник? Ответ. Прямоугольник.

Упражнение 12 Изобразите четырехугольник ABCD, для которого A(-2, 1), B(2, 2), C(1, 4), D(-3, 3). Какой это четырехугольник? Ответ. Параллелограмм.

Упражнение 13 Изобразите четырехугольник ABCD, для которого A(-2, -1), B(2, -1), C(1, 2), D(-1, 2). Какой это четырехугольник? Ответ. Трапеция.

Упражнение 14 Найдите координаты точки, симметричной точке A(2, 3) относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат. Изобразите эти точки. Ответ: а) A 1 (2, –3); б) A 2 (–2, 3); в) A 3 (–2, –3).

Упражнение 15 Найдите координаты точки, симметричной точке A(2, 3) относительно прямой: а) a; б) b; в) c. Изобразите эти точки. Ответ: а) A 1 (2, –1); б) A 2 (0, 3); в) A 3 (–1, –2).

Упражнение 16 Точки N(…, 6) и N 1 (2, …) симметричны относительно оси ординат. Назовите пропущенные координаты этих точек. Ответ: N(–2, 6); N 1 (2, 6).

Упражнение 17 Найдите координаты точки, полученной поворотом точки A(2, 3) вокруг начала координат на угол 90 о : а) против часовой стрелки; б) по часовой стрелке. Изобразите эти точки. Ответ: а) A 1 (–3, 2); б) A 2 (3, –2).

Упражнение 18 Изобразите точки с целочисленными координатами (x, y), для которых выполняется равенство: а) y = x; б) x + y = 1. Ответ: а) б)

Упражнение 19 Изобразите точки с целочисленными координатами (x, y), для которых выполняются неравенства: а) x 2 + y 2 < 2; б) 1 < x 2 + y 2 < 3. Ответ: а) б)

Упражнение 20 Изобразите точки с целочисленными координатами (x, y), для которых одновременно выполняются неравенства 0 < x < 3, -3 < y < 2. Ответ:

Упражнение 21 Нарисуйте квадрат, две противоположные вершины которого имеют координаты: (0, 0), (3, 3). Ответ:

Упражнение 22 Нарисуйте квадрат, две противоположные вершины которого имеют координаты: (-3, 0), (3, 0). Ответ:

Упражнение 23 Нарисуйте четырехугольник, вершины которого имеют координаты: (3, 3), (-1, 3), (-1, -1), (3, -1). Найдите его площадь. Ответ: 16.

Упражнение 24 Нарисуйте четырехугольник, вершины которого имеют координаты: (-3, 1), (1, -3), (3, -1), (-1, 3). Найдите его площадь. Ответ: 16.

Упражнение 25 Нарисуйте четырехугольник, вершины которого имеют координаты: (-3, -3), (1, -1), (3, 3), (-1, 1). Найдите его площадь. Ответ: 12.

Упражнение 26 Нарисуйте шестиугольник, вершины которого имеют координаты: (2, 0), (1, 2), (-1, 2), (-2, 0), (-1, -2), (1, -2). Найдите его площадь. Ответ: 12.

Упражнение 27 Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (1, 0), (2, 1), (1, 3), (2, 4), (1, 4,5), (1, 6), (1,5, 5,5), (2,5, 5,5), (3, 6), (3, 4,5), (2, 4), (3, 3), (4,5, 2,5), (4,5, 0), (5, 2,5), (5, 0). Очертания какого животного она напоминает? Ответ. Кошка.

Упражнение 28 Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (4, 0), (3, 1,5), (1, 2), (-1, 2), (-4, 0,5), (-6, 2), (- 5,5, 0), (-6, -2), (-4, -0,5), (-1, -2), (1, -2), (3, -1,5), (4, 0). Очертания кого она напоминает? Ответ. Рыба.

Упражнение 29 Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (-5, 1), (-6, 0,5), (-7, 1), (-4,5, 2,5), (-3,5, 2,5), (-4,5, 1), (5,5, 1), (5,5, - 0,5), (4,5, -1,5), (4,5, -1), (5, -0,5), (5, 0,5), (4, 0,5), (4,5, 0), (3,5, -2), (3, -2), (3, -1), (2, -0,5), (-2, -0,5), (-3,5, -1), (-4,5, -2), (-5,5, -2), (-5, - 1), (-4,5, -1), (-4,5, 2), (-5, 1), (-5,5, -1), (-5, -1). Очертания какой породы собаки она напоминает? Ответ. Такса.

Упражнение 30 Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (0, 0), (-1, 1), (-3, 1), (- 2, 3), (-3, 3), (-4, 6), (0, 8), (2, 5), (2, 11), (6, 10), (3, 9), (4, 5), (3, 0), (2, 0), (1, -7), (3, -8), (0, -8), (0, 0). Очертания какой птицы она напоминает? Ответ. Страус.