Универсальная формула Автор проектной работы - Марушкина Вера Владимировна, 8 класс ( с. Ступино Ефремовского р - на ул. Набережная, д.10, кв.1 тел ) Руководитель - Сахно Людмила Николаевна МКОУ « Ступинская СОШ 14» ( с. Ступино Ефремовского района, ул. Мира, д.1) телефон , - Номинация « Геометрические миниатюры »

Аннотация Аннотация Цель данного проекта – рассказать, как вычислить объемы простых тел и площади плоских фигур с помощью одной формулы, которая редко встречается в школьных учебниках. Эта формула может пригодиться в практике, например, для измерения « объема ствола дерева, не интересуясь тем, на что он больше похож – на цилиндр или на конус, полный или усеченный »[1]. В работе показано применение формулы для различных тел и фигур.

Замечательная формула, пригодная для вычисления объема цилиндра, полного конуса, усеченного конуса, всякого рода призм и пирамид и даже шара, известна в математике под названием формулы Симпсона. Томас Симпсон ( ) английский математик. С 1746 года Симпсон - член Лондонского королевского общества, с 1758 года - иностранный член Шведской королевской академии наук. Симпсон составил учебники по элементарной математике. В особых отделах геометрии рассматриваются задачи о наибольших и наименьших величинах, решаемые с помощью элементарной геометрии, правильные многогранники, измерение поверхностей, объёмы тел и, наконец, смешанные задачи [2].

V = V = где h – высота тела, b 1 – площадь нижнего основания, b 2 – площадь среднего сечения, b 3 - площадь верхнего основания

Убедиться в правильности этой формулы очень легко простым применением ее к перечисленным телам. Тогда получим для призмы и цилиндра h b3b3 b3b3 b2b2 b1b1 b2b2 b1b1

Для пирамиды и конуса h b3b3 b3b3 b2b2 b1b1 b2b2 b1b1

Для усеченного конуса h b3b3 b2b2 b1b1 r R Для усеченной пирамиды Для усеченной пирамиды доказательство ведется сходным образом ; h b3b3 b2b2 b1b1

Для шара Для шара : h R b3b3 b2b2 b1b1

Можно отметить еще одну любопытную особенность универсальной формулы : она годится также для вычисления площадей плоских фигур – параллелограмма, трапеции и треугольника, если h - это высота фигуры, b 1 - длина нижнего основания, b 2 - длина средней линии, b 3 - длина верхнего основания.

Чтобы в этом убедиться, применим формулу и получим : Для параллелограмма ( квадрата, прямоугольника ) h b1b1 b2b2 b3b3

Для трапеции b3b3 b2b2 b1b1 h

Для треугольника b2b2 b1b1 b3b3 h b2b2

универсальной Вы видите, что формула имеет достаточно прав называться универсальной.

Материалы, использованные при подготовке презентации : 1. Перельман Я. И. Занимательная геометрия. ГИТТЛ, М г