Задачи на нахождение площади сечения многогранника Подготовка к решению задач ЕГЭ Автор: Ингинен Ольга Вячеславовна, учитель математики, МОУ «СОШ 6» г. Луга

А В С А1А1 С1С1 В1В1 Найти площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, B и C 1. Построим плоскость сечения, проходящее через вершины A, B и C 1. Проведем высоту КC 1. 1 К 1 Ответ. АС = СВ; СС 1 - общая Δ АСС 1 = Δ ВСС 1 (по двум катетам) Значит АС 1 = ВС 1 Δ АВС 1 - равнобедренный

ABCD – правильная треугольная пирамида все ребра которой равны 1. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М – середина стороны АВ. М Построим плоскость сечения, проходящее через точки D, C и М. Н Δ АВС - равносторонний Ответ. Н – точка пересечения медиан. Применим свойство медиан: медианы треугольника пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины СН : НМ = 2 : 1. Вся медиана СМ – это 3 части. СН = СМ (2 части) НМ = СМ (1 часть)

Ответ. Найти площадь сечения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, проходящее через вершину A и середины ребер BB 1 и DD 1. 1 к м Построим плоскость сечения, проходящее через вершину A и точки К и М. КМ = BD = АС = АКС 1 М – параллелограмм

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через вершину В и точки E и F на ребрах A 1 В 1 и В 1 C 1 соответственно, если В 1 E = 5A 1 E и C 1 F = 5В 1 F. F E Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, Е и F. Δ ВEF - произвольный По теореме косинусов: Ответ.

Найти площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер AD, BC и SC. м К N Построим плоскость сечения, проходящее через точки N, К и М. Р КМ= АВ =1, PN= DC=КР= МN= AS = м N Р К H КPSМ – равнобедренная трапеция Ответ.

Найти площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, C и D 1. Построим плоскость сечения, проходящее через точки A, C и D 1. Ответ.

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через вершины B 1 и D и точку M на ребре CC 1, если C 1 M = 2CM. м К Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, D 1 и M. Сечением является параллелограмм BMD 1 K. По теореме косинусов: Ответ.

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, проходящее через вершину D 1 и середины ребер AB, BC. Построим плоскость сечения, проходящее через указанные точки. Сечением является пятиугольник EFGD 1 H. ADCFE – проекция сечения на плоскость ABCD S ADCFE =S ABCD - S BEF = А DC F BE R Ответ. По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника: Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, проходящее через вершины A, B, C 1. Ответ..

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, проходящее через середины ребер AB, BC, A 1 B 1. Ответ:

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, проходящее через вершину A и середины ребер CD, C 1 D 1. Ответ..

Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер SA, SB и SC. Ответ. 0,25.

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер AA 1, BB 1, CC 1. Ответ. 0,5.

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины B, B 1 и середину ребра AC. Ответ..

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, C и C 1. Ответ..

1. Найти площадь сечения куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром 2 плоскостью, проходящей через вершины C 1 и В и точку E на ребре A 1 В 1, если В 1 E = 0,4 А 1 E. Е Ответ.

В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 4 см. Через диагональ основания под углом 45 к плоскости основания проведена плоскость, пресекающая боковое ребро. Найти площадь сечения. Ответ.

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через вершины B 1 и D и середину ребра CC 1. Ответ.

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, проходящее через вершины A, C и середину ребра С 1 D 1. Ответ:

Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, B и середину ребра SC. Ответ:

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер AB, BC и CC 1. Ответ:

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, D и C 1. Ответ:

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, проходящее через вершину A и середины ребер BC, DD 1. Ответ:

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, проходящее через середины ребер AB, BC, CC 1. Ответ.

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, B и D 1. Ответ: 3

Найти площадь сечения куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром 2 плоскостью, проходящей через вершину C 1 и середины ребер A 1 D 1 и CD. Ответ.