Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин

Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

Например:. Построив ее график. Построив ее график у наим. =-1\2, а у наиб. = 1\2 у наим. =-1\2, а у наиб. = 1\2 у х О 1 1/2 -1/2

Можно рассуждать так Значит y наиб =3 С другой стороны Значит у наим. =0 Можно находить наименьшее и наибольшее значение без помощи графика

Пусть y=f(х) непрерывна на отрезке [a, b] Например: аb Y наим. Y наиб.. Y наим. Y наиб.. а b 0 0 у хх у Анализируя указанные геометрические модели, можно прийти к следующим выводам:

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего и своего наименьшего значений. 2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него. 3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y=f(х) на отрезке [a, b]. 1. Н айти производную f\(x) 2. Н айти стационарные ии критические точки функции, лежащие внутри отрезка [a, b]. 3. В ычислить значения функции у=f(х) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках а и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет у наим.) и наибольшее (это будет у наиб.).

Пример 1: А) на отрезке [-4, 6] Б) на отрезке [0, 6] В) на отрезке [-2, 2] Воспользуемся алгоритмом: имеем Из условия у \ = 0 имеем

а) х=-3 и х=5 принадлежат заданному [-4, 6] Составим таблицу значений функции Составим таблицу значений функции х у Таким образом у наим. =-174 (достигается в точке х=5); у наиб. =82 (достигается в точке х=-3).

б) х=5 принадлежит [0, 6] Составим таблицу значений функции х056у Таким образом, у наим. =-174 (достигается в точке х=5); у наиб. =1 (достигается в точке х=0).

в) Отрезку [-2, 2] не принадлежит ни одна из найденных стационарных точек f(-2)=71 f(2)= -93 Таким образом, у наим. = -93 у наиб. = 71 у наиб. = 71

Пример 2:

Составим таблицу значений функции Составим таблицу значений функциих01/512у0-3/25538 Ответ: у наим. = -3/25; у наиб. = 38

Теорема: Пусть функция у=f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку х=х0. Тогда а) если х=х0 – точка максимума, то унаиб.=f(x0) б) если х=х0 – точка минимума, то унаим.=f(x0)

0 0 y x y x a b ab у наим.

Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений. – 3-е изд., испр. – М.: Мнемозина, – 374 с.:ил.