{ основные типы уравнений второго порядка в математической физике - уравнение теплопроводности - уравнения в частных производные - уравнения переноса количества движения в жидкости – волновое уравнение – примеры }

Под термином Уравнения математической физики обычно понимают линейные дифференциальные уравнения второго порядка с частными производными, к которым приводит моделирование определенных физических задач. Три основных типа уравнений: Гиперболический тип: где a 11 (x,y), a 12 (x,y), a 22 (x,y) Эллиптический тип: Параболический тип: некоторые функции двух переменных.

Дифференциальными уравнениями в частных производных описываются математические модели переноса в сплошных средах. o Одномерный перенос тепла A(x) dx x Скорость, с которой тепло поступает в контрольный объем слева, через поперечное сечение A выделенного объема, может быть записана на основании закона Фурье. k - коэффициент теплопроводности материала. A = A(x) - площадь поперечного сечения тела. - скорость изменения температуры (градиент) вдоль оси тела. T(x)

Скорость с которой тепло покидает правое сечение выделенного объема Уравнение баланса энергии для выделенного контрольного объема за время dt содержит следующие члены: входящее тепло за время dt + тепло, образованное за счет внутренних источников за время dt = выходящее тепло за время dt + изменение внутренней энергии объема за время dt где Q - скорость генерации тепла, приходящая на единицу объема (тепловой источник), c p - теплоемкость, - плотность и - изменение температуры контрольного объема за время dt. Получаем нестационарное уравнение теплопроводности

Специальные случаи определяются физическими условиями процесса передачи тепла и описываются следующими типами дифференциальных уравнений в частных производных: Уравнение Фурье: ( отсутствует источник тепла – Q = 0 ) Уравнение Пуассона:(стационарный процесс) Уравнение Лапласа:(стационарный процесс без тепловыделения - Q = 0 ) Уравнение Лапласа:(стационарный процесс в теле постоянного сечения и с постоянным коэффициентом теплопроводности)

o Одномерное движение жидкости A(x) x Для каждого поперечного сечения A в конфузоре расход жидкости будет одинаков UA = const, где - плотность, U - скорость течения, A - площадь поперечного сечения. Если считать жидкость несжимаемой, а поле скоростей имеющим потенциал, то уравнение движения примет вид: U(x) Это условие можно записать как уравнение сохранения массы:

Вывод подобных уравнений для трехмерного физического пространства удобно делать с использование интегральных соотношений из теории поля. Например, уравнение нестационарной теплопроводности в трехмерном случае изотропного тела (из однородного материала с постоянным коэффициентом теплопроводности) может быть записано в следующем виде: Решение уравнений в частных производных требует знания начальных условий - распределение температуры в начальный момент времени и граничных условий - распределение температуры и/или ее градиентов на границе. Для линейных уравнений общее решение может быть найдено как суперпозиция решений стационарного уравнения и решения для нестационарных условий. o x T ab T(a) T(b) T(x,0)

o Уравнение колебаний струны Дана тонкая однородная нить, работающая только на растяжение – струна. x u L В положении равновесия струна представляет собой отрезок Концы струны закреплены в точках x = 0 и x = L. Струна выводится из положения равновесия (принимает форму дуги с уравнением f(x) ) и отпускается. Возникают свободные колебания струны около положения равновесия.

На элемент струны MM 1 (в положении равновесия - отрезок PP 1 массой x ) действуют силы натяжения T и T + dT, направленные по касательной с углами и относительно оси x. o x u L xx+dx P1P1 P MM1M1 T T К этим двум силам добавляется сила инерции Равнодействующая всех трех сил будет равна нулю.

Проекция на ось x : Проекция на ось u : o x u L xx+dx P1P1 P MM1M1 T T

o x u L x P1P1 P MM1M1 T T Переходя к пределу при x 0 (устремляя к нулю длину элемента MM 1 ), получим При малых по абсолютной величине колебаниях Уравнение колебаний струны:

o x u L Начальные условия: 1)2) Граничные условия: 1)2) f(x) (x)

o x u L

o x u L Начальные условия: L f(x) (x)

@ Найти движение струны, первоначально находящейся в нейтральном положении и имеющей скорость в начальный момент времени L = 9, a =2 Решение