Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Арифметика ЭВМ Системы счисления

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Под системой счисления будем понимать способ представления любого числа при помощи некоторого алфавита символов, которые называются цифрами. Система счисления (с/с) называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значения, которое соответствует позиции цифры в последовательности цифр, которые составляют число. Количество S различных цифр, которые используются в позиционной с/с, называется ее основой. Цифры, которые используются для записи чисел, называются базисными цифрами. В общем случае в позиционной с/с с основанием S любое число х можно представить в виде полинома с основанием S: Системы счисления

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Позиции цифр, которые отсчитываются от разделителя целой и дробной части, называются разрядами (в математике разделитель – запятая, в программировании – точка). В позиционной системе счисления значение каждого разряда больше, чем значение соседнего справа разряда в число раз, равное основе S с/с. В 2-й с/с (S=2) используют цифры 0, 1; тогда любое число можно записать в форме полинома следующим образом: Пример:

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. При выполнении арифметических действий над числами применяют таблицы сложения, вычитания и умножения : = 0 0 – 0 = 0 0 · 0 = = 1 1 – 0 = 1 0 · 1 = = 1 1 – 1 = 0 1 · 0 = = – 1 = 1 1 · 1 = 1

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Перевод чисел из одной с/с в другую Общий метод перевода небольших чисел из одной системы счисления в другую: расписать число полиномом: и выполнить действия в новой системе счисления

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Правило 1 Чтобы перевести число из 16-й с/с в 2-ю с/с, необходимо все цифры расписать в 2-й с/с по 4 разряда (из 8-й с/с в 2-ю с/с – по 3 разряда), а потом откинуть незначащие нули. Это правило можно вывести строго. Например для 16-й с/с: Пример (36) 16 =( ) 2 =(110110) 2

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Правило 2 Чтобы перевести число из 2-й с/с в с/с с основой 2 к, к=3, 4, необходимо от точки налево и направо выделить группы по к цифр (дополняя при необходимости нулями крайние группы) и каждой группе поставить в соответствие конкретную цифру новой системы. Например: Из 2-й с/с в 8-ю с/с ( ,1101) 2 =( ,110100) 2 =(1571,64) 8 Из 2-й с/с в 16-ю с/с ( ,1101) 2 =( ,110100) 2 =(379,D) 16 Перевод чисел из с/с p=2 k в q=2 n можно совершать через 2-ю с/с

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Перевод целых положительных чисел из с/с с основой «p» в с/с с основой «q» Пусть (х) р – целое положительное число в с/с с основанием «p». Так как: То вытекает следующее правило перевода: Правило 3: Чтобы перевести целое число из с/с с основой «р» в с/с с основой «q», надо выполнять следующие действия. В с/с и исходной основой «р» разделить х на q. Первый остаток – младшая цифра (а 0 ). Затем полученное частное разделить на q. Остаток есть следующая цифра (а 1 )Новое частное делим на q. Процесс продолжаем, до тех пор, пока не получим частное, меньшее, чем q. Частное есть старшая цифра (a n ). Полученные остатки записываем в с/с с основанием q.

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Пусть (y p ) – правильная дробь в с/с с основанием «р». Имеем: Перевод правильных дробей из с/с с основанием «p» в с/с с основанием «q» Правило 4: Чтобы перевести правильную дробь из с/с с основанием «p» в с/с с основанием «q», надо исходное число умножить на q (в с/с с исходной основой «p»). Полученная целая часть есть цифра (а -1 ). Полученную дробную часть умножить на q. Полученная целая часть есть цифра (a -2 ) и т.д. В конце перевода записать полученные цифры в новой с/с с основой q. Остановить процесс, если: 1.Получили остаток, равный нулю; 2.Получили остаток, встречающийся ранее (период); 3.Получили необходимое количество цифр переводимого числа.

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Числа можно представлять в форме с фиксированной точкой и в форме с плавающей точкой. Представление числа с плавающей точкой в общем случае имеет вид: Где q – мантисса числа, s p – характеристика числа х (s – основа характеристики, р - порядок). Мантисса – дробь с фиксированной точкой со знаком, порядок – целове число со знаком. Порядком определяется положение точки в числе х. Чтобы получить число в форме с плавающей точкой, нужно перевести его в нужную с/с, а затем записать его по правилу: Формы представления данных

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Примеры На примере 10-й с/с хорошо понятно, что арифметические действия над числами с плавающей запятой требуют, кроме выполнения операций над мантиссой, определенных операций над порядками (сравнение, сложение, вычитание).

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Формы представления данных в ПК Информация в памяти ЭВМ хранится и обрабатывается в двоичной системе счисления. Неделимой наименьшей единицей хранения информации является один бит, т.е.. двоичный разряд, который может принимать значения 0 или первого Группа из 8 битов называется байтом. Вся оперативная память состоит из байтов, которые нумеруются с 0. Последовательность в 1024 байта называется 1килобайт (1 кбайт = 1024 байта); 1 мегабайт = 1024 Кбайт, 1 гигабайт = 1024 Мбайт, 1 терабайт = 1024 Гбайт, 1 петабайт = 1024 Тбайт, 1экзабайт = 1024 Пбайта. Адресом любого данного считается адрес (номер) самого первого байта поля памяти, выделенной для его хранения. Форма записи данных в памяти ЭВМ называется внутренним представлением данных. В ЭВМ применяют две формы представления чисел: с фиксированной и с плавающей точкой.

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Хранение чисел с фиксированной точкой Для хранения информации в оперативной памяти служит ячейка. Существуют ЭВМ, в которых ячейка имеет постоянную длину, в ПК – переменную. Наименьшая длина – 1 байт. Есть ячейки в 2, 4, 6, 8, 10 байт. Ячейка в 2 байта называется словом, в 4 – двойным словом, в 1 байт – полусловом. Будем считать, что байты размещаются так (k=2, 4, 6, 8, 10): Байт k

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. При представлении чисел с фиксированной точкой местонахождение точки фиксируется в конкретном месте ячейки относительно разряда числа. Каждый бит имеет свой вес в байте. Если в байте точка зафиксирована справа и используется беззнаковая форма хранения целых положительных чисел, то биты имеют вес в соответствии со схемой: Для представления целых чисел используют два варианта: со знаком и без знака. В первом случае выделяют «знаковый» разряд (обычно крайний слева) и сохраняют там 0 («+») или 1 («-») Если местонахождение точки фиксируется перед старшим разрядом, то вес разрядов в байте будет другим: В этом формате могут быть числа – правильные дроби. Бит Вес бита Бит Знак Вес бита Бит Знак Вес бита2 –1 2 –2 2 –3...2 –7

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Хранение целых чисел Для представления целых числе в форме с фиксированной точкой со знаком в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды. Идея такова: код трактуется как число без знака, а диапазон чисел без знака разбивается на два поддиапазона. Один из них дает положительные числа, а другой – неотрицательные. Разбиение выполняется таким образом, чтобы принадлежность к диапазону определялась максимально просто. Очень удобно формировать коды так, чтобы значение старшего разряда показывало на знак числа

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Прямой код двоичного числа G, который представляется в n-разрядной сетке (n=8, 16, 32) определяется как где, А – величина, равная весу старшего разряда сетки (для целых чисел А=2 n-1 ). Фактически, в прямом коде сохраняется модуль числа, а в старшем разряде стоит знаковый бит: 0 – для положительных, 1 – для отрицательных чисел. Диапазон чисел в прямом коде: 0 G A – для положительных, старший разряд равен 0; 0 |G| A – для отрицательных, старший разряд равен 1.

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Обратный код двоичного числа G, который представляется в n- разрядной сетке (n=8, 16, 32), определяется так где B – величина наибольшего числа без знака, которое размещается в n-разрядной сетке; B=2 n -1– для целых чисел. Диапазон чисел в обратном коде: 0 |G| < B=2 n -1. По этому определению обратный код отрицательного числа представляет собой дополнение модуля исходного числа к наибольшему числу без знака, которое размещается в разрядную сетку. Таким образом, получение обратного кода отрицательного числа сводится к получению инверсии (0 на 1, 1 на 0) n-разрядного кода модуля этого числа. Значит знаковый бит имеет 0 для положительного числа и 1 – для отрицательного. Недостатком такого способа является то, что числа 0 и (-0) имеют различное представление.

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Дополнительный код двоичного числа G, которое представляется в n- разрядной сетке (n=8, 16, 32), определяется так Где С – величина, равная весу разряда, который размещается за старшим разрядом используемой разрядной сетки. Для целых чисел C=2 n =B+1. Диапазон чисел в дополнительном коде 0 G A – для положительных, старший разряд равен 0; 0 |G| A – для отрицательных, старший разряд равен 1. Для целых отрицательных чисел В дополнительном коде хорошо выполняются операции сложения и вычитания целых чисел. Замечание: Когда происходит переполнение, то на это реагирует знаковый разряд

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Алгоритм представления отрицательного числа в обратном коде Число переводится в 2-ю с/с; дополняется нулями до n разрядов; выполняется инверсия двоичных чисел; к коду прибавляется 1. Замечание: В компьютере целые положительные числа сохраняются в прямом, а целые отрицательные – в дополнительном коде.

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Принципы хранения чисел в плавающей точкой Поскольку арифметические действия над числами с плавающей точкой кроме использования операций над мантиссой требуют определенных операций над порядками, из сводят к действиям над целыми положительными числами (без знака). К порядку р добавляют целое число – сдвиг. Обычно сдвиг A=2 k-1, где k – число двоичных разрядов, которые используются для записи модуля порядка. Тогда р см =р+А>0 называют характеристикой.

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. При фиксированном числе разрядов мантиссы любая величина представляется в ЭВМ с наибольшей возможной точностью нормализованным числом. Число x=q*s p называется нормализованным, если мантисса – правильная дробь: 1/s |q| < 1 В ПК используется другое условие нормализации числа: 1 |q| < 2. При этом условии старшую цифру можно не хранить. Значит, есть 2 формы нормализации мантиссы в 2-й с/с: А) Б)

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Замечание 1: Данные, которые сохраняются в ЭВМ в форме с плавающей точкой, почти всегда представлены с погрешностью и только приблизительно равно исходному числу. Погрешность обусловлена ограниченностью на длину мантиссы (на количество разрядов). Замечание 2: Под порядок тоже отводится ограниченное количество разрядов, значит, диапазон чисел с плавающей точкой ограничен: min |x| max

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Форматы чисел с плавающей точкой арифметического сопроцессора IBM PC/AT 8087 Расшифровка: Знак мантиссы Real ±Нормализованная мантисса (f)Характеристика (l) Биты Знак мантиссы Single ±Характеристика (l) Нормализованная мантисса (f) Биты

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Форматы чисел с плавающей точкой арифметического сопроцессора IBM PC/AT 8087 Расшифровка: Знак мантиссы Double ±Характеристика (l) Нормализованная мантисса (f) Биты Знак мантиссы Extended ±Характеристика (l)Нормализованная мантисса (f) Биты

Белорусский Государственный университет; ММФ; Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования; Расолько Г.А. Возврат