1

2 Скорость Ускорение Сила Величины, которые характеризуются не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами.

3 Определение вектора. Геометрически векторы изображаются направленными отрезками. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором. Вектор характеризуется следующими элементами: 1. начальной точкой (точкой приложения); 2. направлением; 3. длиной («модулем вектора»).

4 Если начало вектора – точка А, а его конец – точка В, то вектор обозначается АВ или а. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один, используя параллельный перенос. Обозначение вектора. А а В а М N а = MN

5 Нулевой вектор – точка в пространстве. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет длины и направления. Обозначается: 0. Абсолютной величиной (длиной или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора обозначается |а|.

6 Коллинеарные векторы. а c b d Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

7 Если векторы и коллинеарные и их лучи направлены в одну сторону, то векторы называются сонаправленными. Обозначаются : аb. Если векторы и коллинеарные и их лучи направлены в разные стороны, то векторы называются противоположно направленными. Обозначаются : ad. Нулевой вектор считают сонаправленным с любым.

8 Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. а М N а = MN а MN a = MN

9 Задание 1. Привести примеры по чертежу куба с ребром 3 см: коллинеарные векторы; сонаправленные векторы; равные векторы; найдите длину векторов АВ ; АА 1 ; АС ; DB 1.

10

11 Сложение векторов. Правило треугольника. (правило сложения двух произвольных векторов а и Ь). Отложим от какой- нибудь точки А вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим вектор ВС, равный Ь. Вектор АС называется суммой векторов а и b : АС =а+Ь.

12 Сложение коллинеарных векторов. По этому же правилу складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении и не получается треугольника.

13 Сложение векторов. Для сложения двух неколлинеарных векторов можно пользоваться также правилом параллелограма, известным из курса планиметрии.

14 Свойства сложения векторов. Для любых векторов а, b и с справедливы равенства: а + b = b + a (переместительный закон); (a + b) + c = a + (b + с) (сочетательный закон).

15 Сложение нескольких векторов. Сложение нескольких векторов в пространстве выполняется так же, как и на плоскости: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма с третьим вектором и т. д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. ОС = a + b + c а b с О В А С

16 Разность векторов. Разностью векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Разность а - b векторов а и b можно найти по формуле: а - b = а + (-b)

17 Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна |k| * |а|, причем векторы а и b сонаправлены при k O и противоположно направлены при k

18 Правила умножения вектора на число. Для любых векторов а, b и любых чисел k, f справедливы равенства: (kf)a=k(fa) ( сочетательный закон); k(a + b)= ka + kb (первый распределительный закон); (k + f) a =ka + fa (второй распределительный закон).

19 Свойства умножения вектора на число. Отметим, что (-1)а является вектором, противоположным вектору а, т.е. (-1)a = -а. если вектор а ненулевой, то векторы (-1)а и а противоположно направлены. если векторы а и b коллинеарны и а О, то существует число k такое, что b= ka.