СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Методическое пособие

Понятие системы счисления Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков.

Большинство историков полагает, что числа были изначально придуманы торговцами для счета людей, имущества и пр. Например, факт наличия у кого-то четырех утят можно записать так: Из первых систем счисления сейчас широко используются только римские цифры. Вы встретите их на циферблатах часов, в виде дат на памятниках, в виде номеров страниц в книгах Римские цифры, дожившие до наших дней, выглядят так: I V X L C D M I означает «один». Он мог произойти от черточки или от указательного пальца. V, означающий 5, возможно, символизирует руку с отогнутым большим пальцем. X, означающий 10, состоит из двух символов V. L равно пятидесяти. С происходит от латинского слова centum (100) М от слова mille (1000). Римская система счисления

Система счисления, которой мы пользуемся, по происхождению является арабской. Она является позиционной, т. е. количество, представляемое цифрой, зависит от ее положения в числе. Нет специального символа для числа 10. Есть ноль. Цифра это условный знак для записи чисел. Пример: в десятичной системе счисления 10 цифр С помощью этих цифр записываются десятичные числа. Десятичная система счисления

Два вида систем счисления позиционныенепозиционные В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Пример: В десятичном числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, третья – 7 десятых долей единицы. Пример: В римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Поскольку с помощью пальцев удобно считать, мы придумали целую систему счисления, основанную на числе десять. Если бы у человека было на каждой руке только по четыре пальца, как у мультяшки ?! Была бы восьмеричная система: Система счисления для раков основана на 4 и называется четверичной. Дельфины должны научиться считать с помощью двух плавников. Всего две цифры: 0 и 1. Система счисления, основанная на двух цифрах, называется двоичной. В двоичной системе мы считаем так: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, Различные системы счисления

Красивые круглые числа в правом столбцах показывают на то, что при работе с двоичными кодами удобны недесятичные системы счисления. Любое двоичное число, состоящее из 1 с несколькими нулями, является степенью двойки. Показатель степени равен числу нулей. Таблица степеней двойки демонстрирует это правило наглядно.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием

Основание определяет Название системы счисления Количество цифр в этой системе счисления Во сколько раз вклад цифры в n–ой позиции больше вклада такой же цифры в (n–1) позиции

Двоичная система счисления

Электрический сигнал, передающий информацию в ПК, может иметь один из двух уровней напряжения: низкий (кодируется нулем) и высокий (кодируется единицей). Обработка двоичного кода происходит по законам двоичной системы счисления.

Правило перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную Переводимое число необходимо записать в виде суммы произведений цифр числа на основание системы счисления в степени, соответствующей позиции цифры в числе.

Пример перевода из двоичной системы счисления в десятичную = = = ½ + ¼ = = 56,75 10

Правило перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную Перевод целой части сводится к записи в обратном порядке остатков от деления исходного числа и каждого последующего частного на 2.

76 10 =

0, = 0,011 2 Дробная часть получается из целых частей (0 или 1) при ее последовательном умножении на 2 до тех пор, пока дробная часть не обратится в 0 или получится требуемое количество знаков после разделительной точки.

Запись двоичных чисел вне ЭВМ очень громоздкая. Для сокращенной записи двоичных чисел используют 8-ричную и 16-ричную системы счисления. При переводе из двоичной в восьмеричную систему каждые три двоичные цифры заменяются соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе из двоичной в шестнадцатеричную каждые четыре двоичные цифры заменяются одной шестнадцатеричной цифрой. Родственные системы

Двоичная, основание 2 = 2 1 Восьмеричная, основание 8 = 2 3 Шестнадцатеричная, основание 16 = 2 4

Восьмеричная система счисления

Пример перевода из восьмеричной системы счисления в десятичную = = = /8 = = 273,625 10

Шестнадцатеричная система счисления

Пример перевода из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную A7.C 16 = = = /16 = = 167,75 10

Запись в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления первых двух десятков целых чисел

Примеры перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную = = = =

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную Такой перевод осуществляется путем подстановки: каждая 8-ричная цифра заменяется на соответствующие ей три двоичных = =

Примеры перевода из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную = = С 16 Е.5

Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную Такой перевод осуществляется путем обратной подстановки: каждая 16-ричная цифра заменяется на соответствующие ей четыре двоичных. C1B.3 16 = AF =

Двоичное кодирование текстовой информации

Аналоговый и дискретный способы представления звука Аналоговые устройства: Виниловая пластинка Дискретные (цифровые) устройства: – компакт-диск Преобразование звуковой (графической) информации из аналоговой формы в дискретную производится путем дискретизации, т.е. разбиения непрерывного аналогового (звукового или графического) сигнала на отдельные элементы

Двоичное кодирование графической информации В простейшем случае (черно-белое изображение без градаций серого цвета). Каждая точка экрана может иметь лишь два состояния – «черная» или «белая», т.е. для хранения ее состояния необходим 1 бит.

Ответить на вопросы: 1.Дайте определение системы счисления 2.Какие системы счисления называют позиционными? Приведите примеры позиционных систем счисления. 3.Какие системы счисления называют непозиционными? Приведите примеры непозиционных систем счисления. 4.Перечислите о сновные отличительные черты десятичной систем ы счисления? 5.Запишите правило перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную и пример. 6.Запишите правило перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную и пример. 7.Какие родственные системы счисления Вы знаете? Зачем они появились?

Задания 1. Переведите числа из Римской системы в десятичную I, V, XII, XXI, L, XIV, IX, 2. Переведите числа из десятичной системы в Римскую 0, 9,10,14, 4, 16, 26, 100, 55, 21, 18, 19, Переведите следующие числа из двоичной системы в десятичную а) б) в) г) д) е) ж) Переведите числа из десятичной системы в двоичную а) 134 б) 35 в) 776 г) 32 д) 60 е) 28 ж) 9,5