a вектором Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором АВ ВА a 0 M MM АВ = АВ АВ = АВ MM = 0 АВ Длиной ненулевого вектора Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВАВ

коллинеарными, Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. ab c ab ca cb Коллинеарные, сонаправленные векторы oaocob Нулевой вектор Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором.

коллинеарными, Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.a b c baКоллинеарные, противоположно направленные векторы противоположно направленные векторы bc

Многие физические величины, например сила перемещение, скорость, являются векторными величинами. При изучении электрических и магнитных явлений появляются новые примеры векторных величин. + E Электрическое поле, создаваемое в пространстве зарядами, характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности электрического поля. На рисунке изображены векторы напряженности электрического поля положительного точечного заряда.

Электрический ток, т.е. направленное движение зарядов, создает в пространстве магнитное поле, которое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции. На рисунке изображены векторы магнитной индукции магнитного поля прямого проводника с током. B Н а п р а в л е н и е т о к а

A B C A1A1A1A1 B1B1B1B1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 ba D равными, Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.ab =

D А АВСDH – правильная четырехугольная пирамида. Верно ли равенство векторов? Н В С DA = CB CD = BA HC = HA CO = OA O OD = OB

Найдите длины векторов С АВ S D K АВ = 3 ВC = N 4 ВD = 5 M NM = 1,5 BN = 2 NK = 2,5 CB = 4 BA = 3 DB = 5 NC = 2 KN = 2,5

На рисунке изображен параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Точки М и К – середины ребер В 1 С 1 и А 1 D 1. Укажите на этом рисунке все пары: а) сонаправленных векторов; б) противоположно направленных векторов; в) равных векторов. В А В1В1 С1С1 D1D1 D С K А1А1 M

Известно, что АА 1 =ВВ 1. Как расположены по отношению друг к другу: а) прямые АВ и А 1 В; А А1А1 В В1В1 В В1В1 А А1А1

Известно, что АА 1 =ВВ 1. Как расположены по отношению друг к другу: б) прямая АВ и плоскость, проходящая через точки А 1 и В 1 ; А А1А1 В В1В1 А А1А1 В В1В1

Известно, что АА 1 =ВВ 1. Как расположены по отношению друг к другу: в) плоскости, одна из которых проходит через точки А и В, а другая через точки А 1 и В 1. А1А1 В1В1 А В А А1А1 В В1В1

На рисунке изображен параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Точки М и К – середины ребер В 1 С 1 и А 1 D 1. Назовите вектор, который получится, если: В А В1В1 С1С1 D1D1 D С K А1А1 M а) от точки С отложить вектор, равный DD 1 ; б) от точки D отложить вектор, равный CM; в) от точки А 1 вектор, равный АС; г) от точки С 1 вектор, равный СВ; г) от точки М вектор, равный КА 1.

Сложение векторов. Сложение векторов. Правило треугольника. Правило треугольника.a ab b a + b

По правилу треугольника складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении треугольника и не получаетсяa b a + b a b b

a b b

Вычитание векторов. Правило треугольника. a a -b-b-b-b b a - b b a – = a +(– b)b)b)b) -b-b-b-b

Сложение векторов. Правило параллелограмма. a a b b a + b b

Сложение векторов. Сложение векторов. Правило треугольника. Правило треугольника. АВ + ВС = АС АО + ОР = АР MN + NR = MR MK + KM = MM = 0 MK + OM = OM + MK = OK MF - SF = MF + FS = MS RO - RM = RO + MR = MO = MR + RO

Сложение векторов. Сложение векторов. Правило треугольника. Правило треугольника. АС = АВ + ВС OB + ВN ON = AR + RS AS = XK + KH XH = MA + AD MD = OF + FP OP =

Сложение векторов. Сложение векторов. Правило многоугольника. Правило многоугольника. = АO АВ + ВС + СD + DO a c n m c m n a+c+m+n a

Сложение векторов. Сложение векторов. Правило многоугольника. Правило многоугольника. = А 1 A 7 A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 A5A5 A6A6 A7A7 А 1 A 2 + A 2 A 3 + A 3 A 4 + A 4 A 5 +A 5 A 6 +A 6 A 7

Умножение вектора на число. a bka2b 2bb b2b2= 2 a1 2 a1a 2 a1a 21=

Для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны. ak aka Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна, причем векторы и сонаправлены при и притивоположно направлены при. ak a b a k k>0 b k

Умножение вектора на число. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. k (l a) o a o = (kl)a = Сочетательный закон Первый распределительный закон Второй распределительный закон k (a + b) = ka + kb (k+l)a = ka + la Для любых, и любых чисел, справедливы равенства:abbkl Произведение нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. o o k =

АВ = СD k -1 -1A B C A1A1A1A1 B1B1B1B1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 D Диагонали куба АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 пересекаются в точке О. Найдите число k такое, чтобы равенства были верны. АC 1 = AO k 2O OD 1 = D 1 B k 2 1

Диагонали параллелепипеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 пересекаются в точке О. При каком значении справедливо соотношение k A B C A1A1A1A1 B1B1B1B1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 D O 2 1k АВ + В 1 С 1 + СО = С 1 A АВ + В 1 С 1 + СО = АВ + ВС + СО = ВС АОk С 1 A С 1 A=