Виноградова Татьяна Игоревна. учитель математики школа 26 Невский район.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Тема: Производная Задачи, приводящие к понятию производной У Х О.
Advertisements

Применения производной к исследованию функции
Физический смысл производной Содержание Основные формулы дифференцирования Производная элементарных функций Геометрический смысл Правила дифференцирования.
Производная. Исторические сведения Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач: Дифференциальное.
11 класс учитель Чепаева М. И. МОУ «Пичпандинская средняя школа»
Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций.
Производная и ее применение Выполнила : Федотова Анастасия.
Счастливый случай Урок - играТип урока Урок обобщающего повторения и систематизации знаний. Учебные задачи: учить обобщать и систематизировать полученные.
Вопрос 1 Сформулируйте определение производной функции в точке х 0.
Исторические сведения В конце 17 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S(t) и такая.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.
ПРОЕКТ ученицы 11 «Б» класса МОУ Алексеевской СОШ Рябовой Светланы Под руководством Плешаковой О.В.
Счастливый случай Урок - играРазработчик: учитель математики МОУ СОШ 84 города Краснодара Сивохо Римма Васильевна.
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ. В моей презентации речь пойдёт о понятии производной, правилах её применения в науке и технике и о решении задач в этой области.
Чем дальше в лес, тем больше…. Цели проекта: Научиться применять производную к исследованию функции. Задачи проекта: Составление уравнения касательной.
10 класс f ' (x 0 ) = lim ( f / x) x 0 П усть х - произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности точки Х 0 (окрестность точки Х 0 - это интервал.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Производная функции.
Применение производной для исследования функций. 1. Нахождение промежутков возрастания функции. 2. Нахождение промежутков убывания функции. 3. Нахождение.
§9. Исследование функций и построение графиков 1. Возрастание и убывание функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется возрастающей (неубывающей) на.
«Применение производной и ознакомление с её прикладной частью ». «Применение производной и ознакомление с её прикладной частью ». Чихина Анастасия, Спиридонова.
Транксрипт:

Виноградова Татьяна Игоревна. учитель математики школа 26 Невский район

Исторические сведения. Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия. Понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи ( около гг. ) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори, а также в работах Ньютона. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лейбниц, Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс. Однако у создателей дифференциального исчисления возникли проблемы, связанные с тем, что точные определения таких основных понятий как предел, непрерывность, действительное число, отсутствовали, рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были ошибочны.

Таким образом, "новая" математика не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на классических образцах греческих математиков. Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер помогала им избегать ошибок. Характерны 2 высказывания, относящиеся к 18-му столетию. Известный математик М. Ролль писал, что новая наука есть коллекция гениальных ошибок. А великий французский мыслитель - Вольтер заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как "мистический". Лозунгом многих математиков 17 века был:Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет".

Темы 1.Определение производной. 2.Правила вычисления производной. 3.Производная сложной функции. 4. Физический и геометрический смысл производной. 5. Понятие «монотонность функции». 6. Достаточные признаки возрастания и убывания функции на промежутке. 7. Понятие «критические точки функции». 8. Необходимые условия экстремума функции; 9.признаки максимума и минимума функции. 10.Решение задач. ТЕСТ

Производная Определение. Производной функции f в точке х 0 называется число, к которому стремится отношение Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Необходимое условие дифференцируемости функции. Для того, чтобы функция f была дифференцируема (имела производную) в точке х 0 необходимо, но не достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке.

Правила вычисления производной Пусть u и v дифференцируемые функции, а с – const. Тогда

Производная сложной функции

Правила дифференцирования Правило 1: Если функции y=f(x) y=g(x) имеют производную в точке х, то и их сумма имеет производную в точке x, причем производная суммы равна сумме производных: (f(x)+g(x))`= f `(x)+g`(x) На практике это правило формулируют короче: производная суммы равна сумме производных. При этом речь может идти о дифференцировании суммы любого числа функций. Например, (x2+sinx)`=(x2)`+(sinx)`=2x+cos x Правило 2. Если функция y=f(x) имеет производную в точке x, то и функция y=kf(x) имеет производную в точке x, причем (kf(x))`=kf `(x). На практике это правило формулируют короче: постоянный множитель можно вынести за знак производной. Например, (5x2)`=5(x2)`=5*2x=10x Правило 3: Если функции y=f(x) y=g(x) имеют производную в точке х, то и их произведение имеет производную в точке x, причем (f(x) g(x))`= f `(x) g(x)+ f(x) g`(x) На практике это правило формулируют так: производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции. Например, ((2x+3)sinx)`=(2x+3)`sinx+(2x+3)sinx`= 2sinx+(2x+3)cos x

Правило 4: Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке х и в этой точке g(x) не равно 0,то и частное имеет производную в точке х, причем

Геометрический смысл производной Касательной к графику функции f(x) в точке х 0 называется прямая, задаваемая уравнением – угол наклона касательной к оси Ох. k – угловой коэффициент касательной. Значение производной функции f в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.

Очень важно! Нужно знать! Если функция f(x) не имеет производной в точке х 0, но непрерывна в этой точке, то у графика функции в данной точке либо вообще нет касательной, Примеры Касательной не существует в точке (0;0).

либо есть вертикальная касательная. Касательная вертикальна в точке (0;0). y x0 Y=

Следовательно : Существование производной функции f в точке х 0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х 0 ; f(x 0 )) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания.

Физический смысл производной Пусть S=S(t) – зависимость пути от времени, тогда Скорость – производная пути по времени. Ускорение – производная скорости по времени (вторая производная пути по времени).

Монотонность функции Монотонность функции Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2). Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 f (x2).

Геометрически – это интервалы оси ox, где график функции идет вверх.. Задача1.Найти промежутки возрастания функции. Задача2.Найти промежутки убывания этой же функции: Геометрически – это интервалы оси ox, где график функции идет вниз.

Монотонность функции Назовите промежутки возрастания (убывания)для функций: 0 0 ab c a b c d mn x x x y y 0 y 1) 2) 3)

a b c 0 y x Проблема Можно ли установить зависимость между видом монотонности (возрастанием или убыванием) функции на промежутке и знаком производной в каждой точке этого промежутка? Как это сделать?

Признак возрастания функции Достаточное условие возрастания функции : Если в каждой точке интервала (a; b) f(x)>0, то функция f(x) монотонно возрастает на этом интервале.

Признак убывания функции Достаточное условие убывания функции : Если в каждой точке интервала (a; b) f(x)

Условие постоянства функции Необходимое и достаточное условие постоянства функции : Функция f постоянна на интервала (a; b) тогда и только тогда, когда f(x)=0 в каждой точке этого интервала. 0

Экстремумы функции Экстремумы функции Определение. Точка х 0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f(x)f(x 0 ). Определение. Точка х 0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f(x)f(x 0 ). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются максимумами и минимумами функции.

Критические точки функции Критические точки функции Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Роль критических точек – только они могут быть точками экстремума функции. Необходимое условие экстремума. Если х 0 – точка экстремума функции f, то эта точка является критической точкой данной функции. f(x)=0; х 0 – крит. точка; f(x 0 )=f max. f(x)=0; х 0 – крит. точка; f(x 0 )=f min. f(x)=0; х 0 – крит. точка; f(x 0 ) не является экстремумом.

Критические точки (примеры) f(x 0 ) не существует; х 0 – крит. точка; f(x 0 ) не является экстремумом. f(x 0 ) не существует; х 0 – крит. точка; f(x 0 )=f min. Нет критических точек; х 0 =0 не является внутренней точкой области определения.

Критические точки (примеры) f(x)=0 при всех x (-3; 4); f(-3), f(4) не существуют; все x [-3; 4] критические точки. f(x 0 ) не существует; х 0 – крит. точка; f(x 0 )=f min. Нет критических точек; х 0 – точка разрыва.

Проблема Как установить с помощью производной наличие экстремума функции и его вид на промежутке? 0

Достаточное условие экстремума Если функция f непрерывна в точке х 0 и производная f(x) меняет знак в этой точке, то х 0 – точка экстремума функции f. Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х 0, а f(x)>0 на интервале (a; x 0 ) и f(x)

Схема применения производной для нахождения интервалов монотонности и экстремумов Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна. Найти производную f(x). Найти критические точки. В каждом из интервалов, на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и вид монотонности функции. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума. Записать результат исследования: промежутки монотонности и экстремумы. Пример: y=2x 3 -3x 2 -36x x – 5) x=-2 точка максимума; х=3 точка минимума. Ответ: f(x) возрастает на (- ; -2)и на (3; ) ; f(x) убывает на ( -2;3); хmax=-2, ymax=f(-2)=49; xmin=3, ymin=f(3)=-76. 4)