Геометрия владеет двумя сокровищами. Это теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношениях. Первое сравнимо с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень. Иоганн Кеплер

Золотое сечение – это деление отрезка на две части таким образом, что большая его часть относится к меньшей как весь отрезок относится к большей части. х АСВ а - х =, или =, откуда x 2 = a 2 – ax, x 2 + ax – a 2 = 0, x = a. Иногда золотым сечением называют отношение х к а, которое обозначают буквой = 0, 618. Число, обратное, обозначают Отметим некоторые равенства, связывающие Ф и : Золотым треугольником называют равнобедренный треугольник, отношение основания которого к боковой стороне равно. Одним из таких треугольников является треугольник с боковой стороной Ф и основанием 1; именно его будем в дальнейшем называть золотым. ФФ 1

А В С D Планиметрические задачи Найти углы золотого треугольника. Доказать, что биссектрисы при основании золотого треугольника равны основанию и отсекают от боковых сторон отрезки, равные 1 и, считая от вершины. Решение. В треугольнике АВС выберем на стороне ВС точку D так, чтобы AD = 1. Из подобия треугольников АВС и ADC получаем:, или, откуда Поскольку, то, учитывая равенство получаем, что BD = 1 и треугольник ABD равнобедренный. Значит, AD – биссектриса треугольника АВС. Теперь легко найти углы треугольника АВС: Ответ:

Для золотого треугольника найти: а) медиану, проведённую к боковой стороне; б) высоту, проведённую к основанию; в) площадь; г) высоту, проведённую к боковой стороне. Н1Н1 С1С1 В С Н А Решение. Для нахождения медианы воспользуемся формулой где a, b, c – стороны треугольника. Итак, Найдём высоту ВН:Площадь треугольника АВС будет равна: Пусть АН 1 – высота, проведённая к стороне ВС. Возьмём на стороне ВС точку С 1 так, чтобы СН 1 = Н 1 С 1. Треугольники АС 1 С и АВС подобны с коэффициентом подобия Ф, поэтому Ответ: а) б) в) г)

Найти радиус R описанной и радиус r вписанной окружностей золотого треугольника. Доказать, что. Рис. 1 В D О С А Рис. 2 В О Е С Н А Решение. Из треугольника BDO (рис. 1) имеем: Из треугольника ВОЕ (рис. 2): Из треугольника ВНС: Подставляя сюда значения и, выраженные через Ф, получим: Перемножим R и r: Ответ:

Найти длины диагоналей правильного 10-угольника со стороной, равной 1. А В СD E F O Решение. Найдём величину внутреннего угла правильного 10-угольника: Длина диагонали AF равна 2Ф. Найдём длину диагонали АС. Из треугольника АВС имеем: откуда В равнобокой трапеции ABCD углы при основании равны Проекции отрезков АВ и CD на основание AD будут равны Длину диагонали АЕ будем искать из треугольника AEF. В этом треугольнике медиана ЕО равна половине стороны АF, поэтому треугольник АЕF – прямоугольный. Тогда Ответ: 2Ф, Ф 2,

Стереометрические задачи 1 1 Ф Ф Ф Ф Пирамида называется золотой, если каждая её грань – золотой треугольник.

Найти расстояния между скрещивающимися рёбрами золотой пирамиды. А В D C 1 Ф Решение. Достроим пирамиду до параллелепипеда. Его рёбра будут равны и (последнее равенство устанавливается преобразованием выражения Ф 3 с помощью соответствия ). Расстояние между рёбрами АВ и DC равно расстоянию между нижней и верхней гранями, то есть Аналогично расстояние между АС и BD равно Расстояние между рёбрами AD и СВ, соответственно, Ответ: и

Найти угол между скрещивающимися рёбрами золотой пирамиды. А В D C 1 Ф Решение. Угол между рёбрами АD и ВС равен, поскольку они являются диагоналями квадратов, лежащих в параллельных плоскостях. Углы между парами оставшихся рёбер равны. С одной стороны, площадь грани со сторонами и, равна. С другой, эта площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Получим уравнение: Ответ:

Найти высоту золотой пирамиды. В А D C К МН Решение. Пусть DАВС – данная пирамида, DH – её высота. Плоскость АDH пересекает ребро ВС в точке М, причём ВМ = СМ. Треугольник АDМ – равнобедренный. Опустим на его основание АD высоту МК. Из подобия треугольников АНD и АКМ будем иметь: Поставим в это равенство известные нам числа: (ребро пирамиды), (расстояние между рёбрами AD и ВС), (высота золотого треугольника): Ответ:

Найти объём золотой пирамиды. А В D C 1 Ф Решение. Объём пирамиды найдём тремя способами Объём золотой пирамиды – это объём прямоугольного параллелепипеда минус объём четырёх маленьких пирамид с рёбрами длиной 1,, и, значит: Ответ:2. где a, b – длины противоположных рёбер, d – расстояние между ними, - угол между ними;

Обычно, рассказывая о золотом сечении, приводят примеры его использования в окружающем мире – в живописи, архитектуре, поэзии и т. д. Эта тема очень интересна, она позволяет показать связь математики с другими науками, с культурой. Однако часто изучение золотого сечения уводит в сторону от математики, основное время отводится рассмотрению нематематических вопросов, связанных с красотой и гармонией окружающего мира. В своей работе я исследовала примеры как планиметрических, так и стереометрических задач, связанных с золотым сечением.