Системы двух уравнений с двумя переменными Каждая пара значений переменных, образующая в верное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений. Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки Пример. Решить систему уравнений. Решение. Из первого уравнения находим x = 3y Подставим выражение 3y + 10 вместо x во второе уравнение системы. Получим (3y + 10) 2 – 24y = 100, откуда находим y 1 = 0, y 2 = - 4, то x = -2. Итак, система имеет два решения: ( -2; -4) и (10 ; 0).

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения Пример. Решить систему уравнений (1) Решение. Умножив обе части второго уравнения системы на 3, получаем систему (2)

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения Сложим теперь оба уравнения полученной системы. Система (3) равносильна системе (2). Система (3), в свою очередь, преобразуется к виду

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения Из уравнения 11x = 55 находим x = 5. Подставив это значение в уравнение 2x + 3y = 7, находим y = -1. Итак, (5; -1) – решение системы (3), а значит, и решение равносильной ей системы (1).

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения Пример 2. Решить систему уравнений Решение. Если обе части первого уравнения системы умножить на 2 и вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожатся члены, содержащие переменные во второй степени: (2x 2 + 2y 2 + x – 3y – 5) – (2x 2 + 2y 2 – 4x + 2y) = 0

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения 5x – 5y – 5 = 0 x – y – 1 = 0 Мы приходим к более простой системе которую нетрудно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим y = x – 1, значит, x 2 + (x – 1) 2 – 2x + (x – 1) = 0

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения 2x 2 – 3x = 0 x 1 = 0, x 2 = 1,5 Если x = 0, то y = x – 1= 0 – 1 = -1 ; если x = 1,5, то y = x – 1 = 1,5 – 1 = 0,5. Ответ: (0; -1) и (1,5; 0,5)

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных Пример 1. Решить систему Решение. Положим = z, тогда = и первое уравнение системы примет вид z +=

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных Решим полученное уравнение относительно новой переменной z: 6z 2 – 13z + 6 = 0 z 1 =, z 2 =. Таким образом, либо=, т.е. y =, либо =, т.е. y =.

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных Итак, первое уравнение заданной системы распалось на два уравнения: y = и y =. В соответствии с этим нам предстоит теперь решить совокупность двух систем: и

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных Из первой системы находим x = 2, y = 3, из второй x = 3, y = 2. Ответ: (2; 3) и (3; 2).

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных Пример 2. Решить систему уравнений Решение. Положим x + y = u, xy = v. Тогда x 2 + y 2 = (x + y) 2 – 2xy = u 2 – 2v и система имеет вид (1)

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных Полученную систему можно решить методом подстановки. Выразив из второго уравнения v через u, получим v = 26 – 2u и, подставив результат в первое уравнение, получим u 2 – 2v + u = 32 u 2 + 5u – 84 = 0 u 1 = -12, u 2 = 7 Соответственно находим v 1 = 50, v 2 = 12.

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных Итак, нашли два решения системы (1): и каждую из которых нетрудно решить методом подстановки (выразив, например, y через x из первого уравнения). Первая система не имеет действительных решений, а вторая имеет два решения: (3; 4) и (4; 3). Они и будут решениями исходной системы.

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления Пример 1. Решить систему уравнений

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления Решение. Рассмотрим первое уравнение. Левая его часть обращается в 0. Если y = 0, то правая часть обращается в 0 при x = 0. Но при x = 0 левая часть не имеет смысла. Значит, нет таких пар (x; y), при которых обе части первого уравнения системы обращаются в 0. Поэтому можно заменить первое уравнение произведением обоих уравнений системы, оставив второе уравнение системы без изменений.

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления Преобразовав первое уравнение этой системы, получим т.е..

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления Подставив найденное значение во второе уравнение системы, получим (1) Решим это иррациональное уравнение. Имеем последовательно

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления x 2 = 25, x 1 = 5, x 2 = -5 Второе значение не удовлетворяет уравнению (1), т.е. является посторонним корнем. Значит, система имеет одно решение (5; 4). Ответ: (5; 4).

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления Пример 2. Решить систему уравнений Решение. Ни при каких значениях (x; y) обе части второго уравнения не обращаются в 0 одновременно. Значит, можно применить метод деления, перейдя от заданной системы к системе

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления Из второго уравнения этой системы находим, что Подставив найденное выражение y через x в первое уравнение системы, получим и далее

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления Из уравнениянаходим, что если x = 5, то y = 3. Итак, (5; 3) – решение системы.

Системы показательных и логарифмических уравнений Решение систем показательных и логарифмических уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов. Используются обычные приемы решения логарифмических и показательных уравнений и обычные приемы решения систем уравнений.

Системы показательных и логарифмических уравнений Пример. Решить систему уравнений Решение. Рассмотрим первое уравнение системы. Воспользуемся тем что. Тогда уравнение можно записать в виде

Системы показательных и логарифмических уравнений и далее, откуда т.е.. Теперь рассмотрим второе уравнение системы. Имеем: Задача свелась к решению следующей системы уравнений:

Системы показательных и логарифмических уравнений Подставим 15y + 4 вместо x 2 в первое уравнение:

Системы показательных и логарифмических уравнений Если, то т.е., откуда находим. Если, то т.е. x 2 = 60 – это уравнение не имеет действительных корней.

Системы показательных и логарифмических уравнений Итак, мы нашли две пары значений переменных: Так как заданная система содержит выражения log 2 x, log 4 y, то должны выполняться условия x > 0, y > 0. Поэтому пара исходной системе не удовлетворяет. Ответ: (8; 4)

Методы решения тригонометрических уравнений Решение простейших тригонометрических уравнений Метод разложения на множители Решение тригонометрических уравнений, левая и правая части которых являются одноименными тригонометрическими функциями Метод введения новой переменной Метод введения вспомогательного угла Решение уравнений с использованием ограниченности функций y = sinx и y = cosx