Уроки 8-9 Дифференциальные уравнения второго порядка

y = f(x,y,y). y = (x,C,C), Общее решение где С,С - независимые постоянные, Тогда начальные условия: у = у0 y/(х = х0) = y/0 tg 0 = y/0 Вообще через каждую точку М0(х0,у0) плоскости Оху проходит пучок интегральных кривых. Поэтому нужно не только выбрать кривую, но еще и указать ее направление.

Пусть имеем линейное дифференциальное однородное уравнение y + p y + q y = 0. (2.8) где p, q - постоянные коэффициенты. Будем искать частное решение в форме Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами k = Const и ее нужно определить.

так называемое характеристическое уравнение

Для составления характеристического уравнения достаточно в уравнении производные у, у и саму функцию у заменить на соответствующие степени k.

., : ; 1. следовательно, имеем два действительных корня k1 и k2. Следовательно, уравнение допускает два различных частных решения если k1 k2, то эти решения будут линейно независимы.

Определение. Два решения у1 и у2 называются линейно зависимыми, если можно подобрать постоянные числа а1 и а2, неравные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, то есть а1 у1 + а2 у2 0. В противном случае (то есть если таких чисел подобрать нельзя) у1 и у2 называются линейно независимыми. Тогда общее решение данного уравнения есть линейная комбинация этих частных решений

,.:.: , следовательно, В этом случае корень называется кратным, и частное решение будет одно Всякое другое частное решение у2, линейно независимое с у1, обязательно должно иметь вид у2 = у1 z(x), где z(x) - некоторая функция, не являющаяся константой

. y + p y + q y = 0

. или Следовательно, z = 0.

Тогда z = a и z = ax + b, где a и b - произвольные константы. И, следовательно, Если нам нужно только частное решение, то можно принять а=1,b=0 и тогда То есть общее решение уравнения во втором случае имеет вид. 3.

3.3., то будем иметь два сопряженных комплексных корня и.. k1 = + i и k2 = - i, где Таким образом, общее решение имеет вид

Пусть дано дифференциальное уравнение y + p y + q y = 0 1. Если характеристическое уравнение имеет действительные корни k1, k2 такие, что k1 k2, то все решения имеют вид 2. Если характеристическое уравнение имеет равные действительные корни k=k1=k2, то решение имеет вид 3. Если характеристическое уравнение имеет мнимые корни k1,2 = i, ( 0), то