Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами Лекция 6

Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка Корни характеристического уравнения Случай 1. Если, то характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня В этом случае общее решение имеет вид.

Продолжение Случай 2. Если, то характеристическое уравнение имеет одинаковые корни. Частные решения ЛОУ выбираем так, чтобы они были линейно независимыми: и. Общее решение ЛОУ 2-го порядка будет иметь вид.

Продолжение Случай 3. Если, то характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и, где и. Общее решение ЛОУ 2-го порядка в действительной форме можно записать в виде

Общее решение ЛОУ 2-го порядка в зависимости от корней характеристического уравнения 1. Если, то 2. Если, то 3. Если, то 4. Если, то

Пример Найти общее решение уравнения. Составим характеристическое уравнение. Его корни действительны и различны:. Поэтому общее решение

Пример Решить уравнение y +4y +4y =0. Характеристическое уравнение имеет два кратных корня, поэтому искомое общее решение.

Пример Решить уравнение y +4y +13y =0. Составим характеристическое уравнение. Корни этого уравнения комплексно-сопряженные. Общее решение исходного уравнения:.

Теорема о структуре общего решения линейного дифференциального уравнения 2-го порядка Общее решение уравнения y +py +qy = f(x), где p и q постоянные, а f(x) 0, равно сумме общего решения однородного уравнения y +py +qy =0 и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения, т. е..

Подбор частного решения ЛНОУ по виду правой части методом неопределенных коэффициентов 1. Пусть. Тогда частное решение ищут в виде: а)если, то б)если, то в)если, то

Продолжение 2. Пусть, где - заданный многочлен. Тогда частное решение уравнения ищут в виде: а)если, то б)если, то в)если, то, где = -многочлен с неопределенными коэффициентами.

В правой части уравнения- многочлен 1.Пусть, где - заданный многочлен. Это частный случай при =0. Тогда а)если, то б)если, то в)если, то

В правой части уравнения- тригонометрический полином 5. Пусть где степени многочленов и вообще говоря различны. Тогда а)если, то частное решение ищут в виде где степени многочленов и равны.

Продолжение б)если, то частное решение ищут в виде: Пример: указать вид частного решения уравнения. Характеристическое уравнение имеет:Д=-16 и корни, а решение имеет вид

Решить уравнение.. Корни этого уравнения действительны и различны, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид. Составим частное решение неоднородного уравнения по виду правой части:.

Продолжение Среди корней характеристического уравнения нет равных числу m =2. Поэтому ищем в виде:, где А – неопределенный коэффициент.. Подставим в уравнение. Имеем. Далее имеем 12А=3 и А= ¼.