МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ТКАЧЕНКО МАРИНА ГЕННАДЬЕВНА Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры управления в экономических и социальных системах учебный год

Ткаченко Марина Геннадьевна 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Пусть - множество точек -мерного евклидова пространства. Если каждой точке ставится в соответствие по определенному правилу число ( - множество действительных чисел), то говорят, что на множестве задана функция переменных или.

Ткаченко Марина Геннадьевна 3 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Функция – линейная, если

Ткаченко Марина Геннадьевна 4 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Линией уровня функции переменных называется множество точек пространства таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно.

Ткаченко Марина Геннадьевна 5 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Градиент функции - это вектор, координаты которого равны частным производным функции по соответствующим переменным:

Ткаченко Марина Геннадьевна 6 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Градиент функции, вычисленный в точке перпендикулярен линии уровня функции, проходящей через эту точку, и показывает направление наибольшего роста функции в этой точке (в противополож- ном вектору градиента направлении функция убывает).

Ткаченко Марина Геннадьевна 7 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Построение прямой или по двум точкам.

Ткаченко Марина Геннадьевна 8 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Матрица

Ткаченко Марина Геннадьевна 9 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Система линейных уравнений с переменными имеет вид или в краткой записи,

Ткаченко Марина Геннадьевна 10 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Любые переменных системы линейных уравнений с переменными называются основными (или базисными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные переменных называются неосновными (или свободными).

Ткаченко Марина Геннадьевна 11 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Теорема 1. Если для системы линейных уравнений с переменными ранг матрицы коэффициентов при переменных равен, т.е. существует хотя бы одна группа основных переменных, то эта система является неопределенной, причем каждому произвольному набору значений неосновных переменных соответствует одно решение системы.

Ткаченко Марина Геннадьевна 12 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Решение системы линейных уравнений с переменными называется допустимым, если оно содержит лишь неотрицательные компоненты, т.е. для любых. В противном случае решение называется недопустимым. Базисным решением системы линейных уравнений с переменными называется решение, в котором все неосновных переменных равны нулю.

Ткаченко Марина Геннадьевна 13 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки. Теорема 2. Пересечение (общая часть) любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество. Точки выпуклого множества: внутренние, граничные, угловые.

Ткаченко Марина Геннадьевна 14 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Множество точек называется замкнутым, если включает все свои граничные точки. Множество точек называется ограниченным, если существует шар (круг) радиуса конечной длины с центром в любой точке множества, который полностью содержит в себе данное множество; в противном случае множество называется неограниченным. Выпуклое замкнутое множество точек пространства (плоскости), имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многогранником (многоугольником), если оно ограниченное, и выпуклой многогранной (многоугольной) областью, если оно неограниченное.

Ткаченко Марина Геннадьевна 15 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Теорема 3. Множество решений неравенства с двумя переменными является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства. Теорема 4. Множество решений линейного неравенства с переменными является одним из полупространств, на которые все пространство делится плоскостью или гиперплоскостью, включая и эту плоскость (гиперплоскость).

Ткаченко Марина Геннадьевна 16 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Теорема 5. Множество решений совместной системы линейных неравенств с двумя переменными является выпуклым многоугольником (или выпуклой многоугольной областью). Теорема 6. Множество решений совместной системы линейных неравенств с переменными является выпуклым многогранником (выпуклой многогранной областью) в -мерном пространстве.

Ткаченко Марина Геннадьевна 17 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ЗЛП Теорема 7. Множество всех допустимых решений совместной системы линейных уравнений с переменными ( ) является выпуклым многогранником (выпуклой многогранной областью) в -мерном пространстве.

Ткаченко Марина Геннадьевна 18 ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные.