1 Исследовательская работа по математике «Решение квадратных уравнений различными способами» Ученица 10 класса Усманова Лиана Руководитель: Матвеева С.Н. МБОУ «Кадетская школа» Г.Чистополь Татарстан

2 Содержание 1. Определение квадратного уравнения, его виды 2. Из истории квадратных уравнений 3. Различные способы решения квадратных уравнений: 1) Разложение левой части уравнения на множители 2)Решение квадратных уравнений по формуле 3)Решение уравнений с использованием теоремы Виета 4)Решение уравнений способом переброски 5)Свойства коэффициентов квадратного уравнения 6) Графическое решение квадратного уравнения 7) Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки 8) Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

3 1. Определение квадратного уравнения, его виды Квадратным уравнением называется уравнение вида ax + bx + c = 0, где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а 0.

4 Неполные квадратные уравнения 1) ах + с = 0, где с 0;в=0 2) ах + bх = 0, где b 0;с=0 3) ах = 0, где в=0,с=0

5 Из истории квадратных уравнений Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

6 Квадратные уравнения в Индии Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта(VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 +вх=с, а 0. В этом уравнении коэффициенты, кроме а,могут быть и отрицатель-ными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

7 Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв. Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.Книга способствовала распространению алгебраических знаний в Италии, в Германии, Франции и др. странах Европы.

8 Квадратные уравнения в Европе XIII- XVII вв. В глубокой древности была найдена формула для решения квадратного уравнения с помощью радикалов (корней). Вывод формулы имеется у Виета,но он признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кордано, Бомбелли в XVI в.учитывают и отрицательные корни. В XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

9 Различные способы решения квадратных уравнений 1. Разложение левой части уравнения на множители Решим уравнение х + 10х – 24 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: Х + 10х – 24 = х + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х – 2) = 0.

10 Разложение левой части уравнения на множители Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х + 10х – 24 = 0.

11 Решение квадратных уравнений по формуле Х1,2 =

12 4х + 7х + 3 = 0. а = 4, b = 7, с = 3, D = b – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1 Х=, х 2 = –1 х1 =

13 4х – 4х + 1 = 0, а =4, b = - 4, с = 1. D = b – 4ас= 16 – 441 = 0, D = 0, один корень; Х=

14 2х +3х + 4 = 0 а =2, b= 3, с = 4 D = b – 4ас=9 – 424 =9 – 32 = - 13 D < 0. Уравнение не имеет корней.

15 Решение уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + px + q = 0. Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

16 Теорема Виета для квадратного уравнения ах +вх +с = 0 имеет вид

17 Примеры Решить уравнение х – 9х + 14 =0 Попробуем найти два числа х и х, такие, что х +х = 9,х х = 14 Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

18 Решение уравнений способом «переброски» Умножая обе его части на а, получаем уравнение а х + а bх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению у + by + ас = 0, равносильного данному. Его корни у и у найдем с помощью теоремы Виета.

19 Примеры Решим уравнение 2х – 11х + 15 = 0. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у – 11y +30 = 0. Согласно теореме Виета

20 Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 =. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = –

21 Решим уравнение 345х – 137х – 208 = 0. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = Решим уравнение 132х + 247х = 0 Т. к. а-b+с = 0 (132 – =0), то х1= - 1, х2= -

22 Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде Х =

23 Графическое решение квадратного уравнения Решим графически уравнение х – 3х – 4 = 0. Решение. Запишем уравнение в виде х = 3х + 4. Построим параболу у = х и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и N (3;13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и х2 = 4.

24 у=х2 у у=-3х х

25 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения ах + bх + с = 0 и проходит через точки А (0;1) и С(0; ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВОD = ОА ОС откуда ОС =.

26 у C(0, ) А(0; 1) В(х1, 0) D(х2, 0) S(

27 Решим графически уравнение х – 2х – 3 = 0. Определим координаты точки центра окружности по формулам Х=- У= = Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1).

28 Ответ: х1 = – 1, х2 = 3 у А -1 3 х S(1,-1)

29 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990). Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

30 Примеры 1.Для уравнения z2 – 9z + 8 = 0. Номограмма дает корни z1 = 8, 0 и z2 = 1, 2.Решим с помощью номограммы уравнение 2 z – 9 z + 2 = 0. Разделим коэффициенты Этого уравнения на 2, получим уравнение z – 4, = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

31 3. Для уравнения z2 + 5 z – 6 = 0 номограмма дает положительный корень z1 = 1,0, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из – р, т.е. z2 = – р – 1 = = – 5 – 1 = – 6,0 (рис.13.) 4. Для уравнения z2 – 2z – 8 = 0 номограмма дает положительный корень z1 = 4,0, отрицательный равен z2 = – р – z1 = 2 – 4 = – 2,0.

32 Литература 1.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, 4/72. С Дидактические материалы по алгебре. 8.М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.

33 Выводы Квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики.. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.