Целочисленные задачи Выполнили: Красилич Надежда Ведерникова Анастасия

Методы решения Нелинейные уравнения

1)Разложение на множители Решить уравнение 2х ³ +ху-7=0 в целых числах.

Решение: Приведем данное уравнение к виду Х(2х ² +у)=7. Так как 7=1*7=7*1=-1*(-7)=-7*(-1), то рассмотрим четыре системы 1) х=1 2) х=7 2х ² +у=7 2х ² +у=1 3) х=-1 3) х=-7 2х ² +у=-7 2х ² +у=-1 Ответ: (1;5), (-1;-9), (7;-97), (-7;-99)

2) Применение формул сокращенного умножения Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55

Решение: Запишем условие задачи в виде уравнения х ² - у ² = 55 или (х-у)(х+у)=55 Поскольку х-у

3) Способ группировки Решите уравнение ху+3х-у=6 в целых числах

Решение: Запишем уравнение в виде Х(у+3)-(у+3)=3 или (х-1)(х+3)=3 Рассмотрим 4 системы х-1=1 х-1=3 х+3=3 х+3=1 х-1=-1 х-1=-3 х+3=-3 х+3=-1 Ответ: (4;-2), (-2;-4), (2;0), (0;-6)

4)Разложение квадратного трехчлена Решите уравнение х ² -3ху+2у ² =11 в целых числах

Решение: Решим уравнение х ² -3ху+2у ² =0 относительно неизвестной х: х1=у и х2=2у Тогда получаем (х-у)(х-2у)=11 Рассмотрим 4 системы х-у=1 х-у=11 х-2у=11 х-2у=1 х-у=-1 х-у=-11 х-2у=-11 х-2у=-1 Ответ: (21;10), (-9;-10), (-21;-10), (9;10)

Метод решения относительно одной переменной

1) Выделение целой части Найдите все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению 3ху+14х+17у+71=0

Решение: Выразим из данного уравнения у через х: У=-(14х+71)/(3x+17) ОДЗ: 3х+17=0 Выделим из дроби в правой части этого равенства правильную алгебраическую дробь (у которой степень числителя меньше степени знаменателя)

У=-(4(3х+17)+2х+3)/(3х+17) У=-4 –(2х+3)/(3х+17) Умножим обе части последнего равенства на 3: 3у=-12- (6х+9)/(3х+17)=-12 – 2+ 25/(3х+17) Поскольку числа 3у и 14-целые, то 3х+17 должно быть делителем числа 25:1,-1, 5,-5, 25,-25 Ответ: (-4;-3), (-6;-13), (-14;-5)

Замечание!!!! В решении был использован прием домножения обеих частей равенства на коэффициент при х в знаменателе. Этот прием домножения также удобно использовать при решении уравнений методом разложения на множители.

2) Использование дискриминанта (неотрицательность ) Решите уравнение 3(х ² +ху+у ² )=х+8у в целых числах

Решение: Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х: 3х ² +(3у-1)х +3у ² -8у=0 Найдем дискриминант D=-27у ² +90у+1. данное уравнение имеет корни, если D>=0, т.е. - 27у ² +90у+1>=0. Так как у принадлежит целым числам, то получаем 0

3)Использование дискриминанта (полный квадрат) Решите уравнение х ² -ху+у ² =х+у в целых числах

Решение: Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х: х ² - (у+1)х+у ² -у=0 D=-3у ² +6у-1=а ² должен быть квадратом некоторого числа а. получаем новое уравнение 3у ² +6у-1+а ² =0. Из последнего уравнения следует, что а ²

1)Если а ² =0, то уравнение 3(у-1) ² =4 не имеет целого решения у 2)Если а ² =1, то уравнение 3(у-1) ² =3 имеет целые решения у1=2 и у2=0. при у =2 получаем квадратное уравнение х ² -3х+2=0 х1=1, х2=2. при у=0 получаем квадратное уравнение х ² -х=0 х3=0,х4=1 3)Если а ² =4, то уравнение 3(у-1) ² =0 имеет одно целое решение у=1. при у=1 получаем х ² -2х=0 х1=0, х2=2

Ответ: (1;2), (2;2), (0;0), (1;0), (0;1), (2;1)

Метод остатков Решите в целых числах уравнение 3 +7=2

Решение: 1)Если а =0(что невозможно) или первая часть уравнения 7=2 -3 меньше 7 при c

3) Теперь считаем, что а>0. так как уравнение содержит степень с основанием 3, то рассмотрим остатки деления на 3. левая часть исходного уравнения при делении на 3 имеет остаток 1. Когда правая часть 2 имеет остаток 1? легко показать, что при четном с=2х выражение 2 ² ˣ =4 ˣ =(3+1) ˣ =3 ˣ +3 ˣ ¹ +…3+1=3t+1 имеет остаток 1. при нечетном с=2х+1 выражение 2 ˣ ¹ =2*4 ˣ =2(3t+1)=6t+2 имеет остаток 2

Итак с=2х. Тогда 3 =2 ² ˣ -7=4 ˣ -7. Правая часть последнего уравнения имеет остаток 1 при делении на 4 (число – 7 попадает в множество –класс остатков содержащее1). Когда левая часть 3 имеет остаток 1? Покажем, что при а=2r выражение 3 ² =9 = (8+1) = 8 ˣ +8 ˣ ¹ =8s+1 имеет остаток 1. при нечетном а=2r+1 выражение 3 ² ¹ =3*9 =3(8s+1)=24s+3 имеет остаток 3.

Итак, а=2r. Тогда уравнение запишем в виде 2 ² ˣ -3 ² =7 или (2 ˣ -3 )(2 ˣ +3 )=7. Так как 2 ˣ -3 > 2 ˣ +3 и 2 ˣ +3 >0, то имеем единственный случай 2 ˣ +3 =7 2 ˣ -3 =1 Отсюда получаем, что х=2, r=1 и а=2, с=4 Ответ: а=2, с=4 или а=0,с=3

Метод «спуска» Решите уравнение 2х ² -5у ² =7 в целых числах

Решение: Так как 2х ² -четное число, а 7- нечетное число, то 5у ² - должно быть нечетным, т.е. у –нечетное число Пусть у=2z+1, где z-целое, тогда данное уравнение можно записать в виде: х ² -10z ² -10z=6. Отсюда видно,что х должно быть четным.

Пусть х=2m, тогда последнее уравнение примет вид 2m ² -5z(z+1)=3, что невозможно, так как z(z+1)-четно, а разность двух четных чисел не может быть равна нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не имеет целых решений. Ответ: нет решений