Геометрические вероятности Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством P= Длина l / Длина L Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Если предположить, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру gпропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g, то вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством Р= Площадь g/ Площадь G

R a p = Площадь окружности Площадь квадрата p = R 2 a2a2 2R22R2 = = = 0,64 2 Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга. Внутри круга радиусом R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата:

Сумма всех трех отрезков равна L, поэтому каждый из отрезков должен быть меньше L/2. На отрезке АО длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки: В(х) и С(у). Найти вероятность того, что из трех получившихся отрезков можно построить треугольник. Решение: Для того чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, каждый из отрезков должен быть меньше суммы двух других. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. Координаты любых двух точек В и С должны удовлетворять двойным неравенствам: 0 < х < L, 0 < у < L. Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки М(х ; у), принадлежащей квадрату ОLDL. Таким образом этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные значения координат точек В и С. О L LD х у М(х ; у) 1

1. Пусть точка С расположена правее точки В. Как указано выше должны выполняться неравенства: ОВ < L/2, ВС < L/2, СА < L/2. у < L/2, х – у< L/2, L - х < L/2. 0 В(х)С(у) А L х ОС < L/2, ВС < L/2, ВА < L/2. 2. Пусть точка С расположена левее точки В. Тогда должны выполняться неравенства: 0 С(у)В(х) А L х или х < L/2, у < х + L/2, у > L/2. х < L/2, у – х < L/2, L - у < L/2. у < L/2, у > х - L/2, х > L/2.

Таким образом заштрихованные треугольники можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой благоприятствуют интересующему нас события ( из трех отрезков можно построить треугольник). Искомая вероятность: О L LD х у х < L/2, у < х + L/2, у > L/2. 1. х = L/2 у = L/2 у = х - L/2 у = х + L/2 Е К Н F М Эти неравенства выполняются для координат точек треугольника EFH. у < L/2, у > х - L/2, х > L/2. Эти неравенства выполняются для координат точек треугольника KLM.. 2. Р = = = SgSg SGSG S EFH + S KHM S OLDL 1 4 Ответ:1/4

В сигнализатор поступают сигналы то двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t < T). Найдите вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному из сигналов. Решение: Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. Точки квадрата ОТАТ удовлетворяют данным неравенствам. Этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов поступления сигналов. О Т ТА х у 2 Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств через х и у соответственно. В силу условия задачи: 0 < х < Т, 0 < у < Т.

Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t, т.е., если у –х х и х – у у, или, что то же, у х, у > х - t при у < х. Как видно из рисунка, все точки, координаты которых удовлетворяют этим неравенствам принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими срабатыванию сигнализатора моментами времени х и у. Искомая вероятность: Р = = = SgSg SGSG T(2Т –t) Т2Т2 Т 2 -2( Т - t ) 2 /2 Т2Т2

3 В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Внутрь круга наугад брошены четыре точки. Найти вероятности следующих событий: а) все четыре точки попадут внутрь треугольника; б) одна точка попадет внутрь треугольника и по одной точке попадет на каждый «малый сегмент». Решение: а) Найдем вероятность попадания всех точек в треугольник. S круга = П R 2 R= a 3 3а 2 а ( ) S треугольника = 3а 2 2 а ( ) 3а 2 а ( ) а 2 3 = 4 3R Р = = = S треугольника S круга 4П R 2 3R 2 3 4П 3 3 Вероятность попадания четырех точек в треугольник равна: 4П 3 3 ( ) 4 Вероятность попадания одной точки в треугольник равна:

б) Найдем вероятность, что одна точка попадет внутрь треугольника и по одной точке попадет на каждый «малый сегмент». 4П 3 3 Вероятность попадания одной точки в треугольник равна: (S круга - S треугольника ):3= S сегмента = 3R ( П R 2 - ) /3= 3R П R 2 - Вероятность попадания одной точки в сегмент равна: Р = = = S одного сегмента S круга П R 2 3R П R П 4 П - Вероятность попадания по одной точке на каждый сегмент равна: П 4 П - ( ) П 4 П - ( ) 3 4П 3 3 n!n! Искомая вероятность Р=